Sesión Geometría, Topología y Teoría de LieSuperficies co-minimales respecto de las métricas euclídea y de Heisenberg en \(\mathbb{R}^3\)
Facundo Tripodi
Universidad Nacional del Litoral, Facultad de Ingeniería Química, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El grupo de Heisenberg \(H_3\), con su métrica riemanniana invariante a izquierda, tiene como variedad subyacente a \(\mathbb{R}^3\). Esto permite comparar, sobre una misma superficie \(S\subset\mathbb{R}^3\), la condición de minimalidad respecto de la métrica euclídea y la de \(H_3\). Decimos que \(S\) es co-minimal si tiene curvatura media nula para ambas métricas simultáneamente.
Los ejemplos básicos de superficies co-minimales son los planos \(ax+by+cz+d=0\) y los helicoides verticales \(z-c\theta-d=0\). Conjeturamos que estas son las únicas superficies co-minimales, y presentaremos avances parciales hacia dicha clasificación.
En primer lugar, se identifican las isometrías comunes a ambas métricas, mostrando que \(\mathrm{Iso}(\mathbb{R}^3)\cap\mathrm{Iso}(H_3)\) está generado por rotaciones alrededor del eje \(z\) y traslaciones verticales. A partir de esto se clasifican completamente las superficies co-minimales invariantes bajo un subgrupo uniparamétrico de estas isometrías, obteniendo exactamente planos verticales y helicoides verticales.
Para el caso general, se plantea el sistema de EDPs que resulta de imponer minimalidad simultánea a una gráfica \(z=f(x,y)\) (o \(z=f(r,\theta)\)). Usando analiticidad de las soluciones se desarrolla en serie de potencias, se prueba bajo una hipótesis extra que toda solución es un plano o un helicoide. Al retirar esta hipótesis se logra restringir las posibles soluciones usando teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Estos resultados son parte de la Tesis de grado a presentarse en UNL dirigida por Gabriela P. Ovando (UNR).