Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónContinuidad del operador integral fraccionaria sobre espacios de tipo Herz-Musielak-Orlicz.
René Morari
Universidad Nacional del Comahue, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En este trabajo, estudiamos el comportamiento del operador integral fraccionaria \(I_{\alpha}\) actuando sobre espacios de Herz-Musielak-Orlicz homogéneos. Los mismos fueron definidos en [1], como \[\dot{K}_{\Psi}^{\alpha,q}(\mathbb{R}^n) =\left\{ f \in L_{\mathrm{loc}}^{\Psi}(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}) : \sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{k\alpha\,q} \left\| f\chi_{B_k\setminus B_{k-1}}\right\| _{L^{\Psi}}^q < \infty \right\} \,,\] donde \(B_k=\overline{B(0,2^k)}\) y \(L^{\Psi}\) es el espacio Musielak Orlicz compuesto por las funciones para las cuales existe \(\lambda >0\) tal que \[\int_{\mathbb{R}^n}\Psi(x,|f(x)|/\lambda)\,dx < \infty\,,\] siendo \(\Psi: \mathbb{R}^n \times [0,\infty) \to [0,\infty]\) una función tal que \(x \to \Psi(x,|f(x)|)\) es medible para cada \(f\) medible y para casi todo \(x \in \mathbb{R}^n \), la función \( \Psi(x,\cdot) \) es convexa, continua por izquierda y cumple que \(\Psi(x, 0)=0\), \(\displaystyle\lim_{t \to 0^+}\Psi(x,t)=0\) y \(\displaystyle\lim_{t \to \infty} \Psi(x,t) = \infty\).
A partir de las ideas desarrolladas en [2] el objetivo de nuestro trabajo es estudiar resultados de acotación del operador integral fraccionaria cuando actúa sobre funciones en \(\dot{K}_{\Psi}^{\alpha,q}(\mathbb{R}^n)\). Entonces, bajo condiciones sobre \(\Psi\) al estilo de las vistas en [3], se pudo probar que el rango de una adecuada extensión \(\widetilde{I}_{\alpha}\) son espacios Lipschitz \(\mathfrak{L}_{\Psi,\beta}^{-\alpha}(\mathbb{R}^n)\), definidos como el conjunto de las funciones localmente integrables que satisfacen \[\frac{(|x_0|+R)^{-\alpha}}{|B|^{\frac{\beta}{n}} \left\| \chi_B \right\|_{\Psi^*}} \displaystyle\int_B |f - (f)_B|dx \leq \infty,\] donde \( -\infty < \alpha < +\infty\), \(0 < \beta <n\) y \((f)_B\) es el promedio de \(f\) sobre \(B\), con \(B\) una bola del espacio \(\mathbb{R}^n\).
Trabajo en conjunto con: Mauricio Ramseyer (IMAL(CONICET-UNL)) y Alejadra Perini (Universidad Nacional del Comahue,Argentina).
Referencias
[1] Dong, Baohua, Yu Li, and Jingshi Xu. The Musielak-Orlicz Herz spaces. New York J. Math 29 (2023)
[2] Qu, Meng, and Jie Wang. A note on fractional integral operators on Herz spaces with variable exponent. Journal of Inequalities and Applications 2016.1 (2016)
[3] Ramseyer, M., O. Salinas, and B. Viviani. Lipschitz type smoothness of the fractional integral on variable exponent spaces. Journal of Mathematical Analysis and Applications 403.1 (2013)