Sesión Análisis Funcional y Complejo¿Cuánto de un cuerpo convexo cabe dentro de otro?
Daniel Galicer
Universidad Torcuato Di Tella - IMAS, CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Un cuerpo convexo en \(\mathbb{R}^n\) es un conjunto compacto, con interior no vacío, que contiene el segmento que une cualesquiera dos de sus puntos. Dados dos cuerpos convexos \(K,L\subset\mathbb{R}^n\), su razón de volumen o “volume ratio” se define por \[\operatorname{vr}(K,L) = \inf_{T(L)\subset K} \left(\frac{|K|}{|T(L)|}\right)^{1/n},\] donde el ínfimo se toma sobre todas las transformaciones afines invertibles \(T\) tales que \(T(L)\subset K\), y \(|\cdot|\) denota el volumen \(n\)-dimensional. Intuitivamente, esta cantidad mide qué tan bien puede acomodarse una copia afín de \(L\) dentro de \(K\), en términos de la proporción del volumen de \(K\) que puede llegar a ocupar.
En esta charla discutiremos el comportamiento de este parámetro en dimensión alta y presentaremos una nueva cota superior válida para cualquier par de cuerpos convexos, \[\operatorname{vr}(K,L)\leq C\sqrt{n\log(n+1)}.\] Este resultado mejora la cota \(\operatorname{vr}(K,L)\leq C\sqrt{n}\log(n+1)\), obtenida por Giannopoulos y Hartzoulaki hace casi dos décadas y media y que era, hasta ahora, la mejor conocida. La mejora se apoya en importantes resultados recientes en geometría convexa de Bizeul–Klartag y Letwin.
Comentaremos algunas de las ideas geométricas detrás del argumento y explicaremos cómo estos resultados pueden combinarse con una elección adecuada de posiciones afines para los cuerpos y con la elección aleatoria de un operador ortogonal para obtener la nueva cota.
Trabajo en conjunto con: Mariano Merzbacher (Universidad de Buenos Aires, Argentina) y Damián Pinasco (Universidad Torcuato Di Tella, Argentina).