Sesión Análisis Funcional y ComplejoDistancias a los flujos restringidos de mayorización de matrices de densidad
Pedro Massey
CMaLP-FCEx-UNLP y IAM-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Una matriz \(D\in \mathbb C^{n\times n}\) es llamada matriz de densidad si es semidefinida positiva y tiene traza \(1\). En este caso, \(\lambda(D)=(\lambda_1(D),\ldots,\lambda_n(D))\in \mathbb R^{n}_{\geq 0}\) denota el vector de autovalores, contando multiplicidades y ordenado en forma decreciente. Dadas dos matrices de densidad \(D,\,E\) de tamaño \(n\), decimos que \(D\) está mayorizada por \(E\), y notamos \(D\prec E\), si se verifica que \(\sum_{j=1}^k \lambda_j(D)\leq \sum_{j=1}^k \lambda_j(E)\), para \(1\leq k\leq n\). La relación \(D\prec E\) es una condición que caracteriza cuando es posible transformar un sistema cuyo estado está descrito por la matriz de densidad \(E\) es un sistema cuyo estado está descrito por la matriz de densidad \(D\) en distintos contextos físicos.
Fijado \(1\leq h\leq n\) consideramos los flujos restringidos de mayorización (superior e inferior) de una matriz de densidad \(D\) dados por: \[\mathcal U_h(D)=\{E \ {\rm es \ matriz \ de \ densidad} \ : \ D\prec E \ , \ {\rm rk}(E)\leq h\}\, ,\] \[\mathcal L_h(D)=\{E \ {\rm es \ matriz \ de \ densidad} \ : \ E\prec D\ , \ {\rm rk}(E)\leq h\}\] donde rk\((E)\) es la dimensión del espacio columna de \(E\). Dada una norma unitariamente invariante \(\|\,\|\) definida en \(\mathbb C^{n\times n}\) y dos matrices de densidad \(R,\,S\) de tamaño \(n\) y tales que \(R\not\in \mathcal L_h(S)\) y \(S\not\in \mathcal U_h(R)\), en esta charla consideramos el problema de calcular las distancias
\[d_{\| \,\|}(R,\mathcal L_h(S))=\min \{ \| R-E\|: \ E\in \mathcal L_h(S) \}\,,\] \[d_{\| \,\|}(S,\mathcal U_h(R))=\min \{ \| S-F\|: \ F\in \mathcal U_h(S) \}\,.\] Nuestro enfoque estará basado en establecer relaciones de mayorización entre las matrices que corresponden a los residuos de aproximación para estos problemas.
Trabajo en conjunto con: María José Benac (FCEyT-UNSE), Noelia Rios (CMaLP-FCEx-UNLP y IAM-CONICET) y Mariano Ruiz (CMaLP-FCEx-UNLP).