Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónConjuntos Ortogonales Maximales de exponenciales en Espacios de Funciones de Cuadrado Integrable respecto a Medidas de Cantor
Leandro Zuberman
Departamento de Matematica-UNMdP, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En 1998, Jorgensen y Pedersen [1] estudiaron la existencia de Bases Ortonormales de exponenciales en el espacio de Hilbert \(L^2(\mu)\), cuando \(\mu\) es una medida de Cantor en la recta real. Específicamente, consideraron medidas invariantes por la familia de contracciones \(\{\rho (x+d)\}_{d\in D}\) con \(\rho<1\) y \(D\subset \mathbb{Z}\) un conjunto finito. Por ejemplo, probaron que si \(\rho=1/4\) y \(D=\{0,2\}\) es posible encontrar una tal Base pero en el ternario clásico, cuando \(\rho=1/3\) y \(D=\{0,2\}\), no es posible. A partir de allí, proliferaron ejemplos de tales medidas y condiciones que garantizan la existencia de tales bases [2,3,4].
Dada una medida \(\mu\), es de interés entender la estructura o propiedades de los conjuntos \(\Lambda\) para los cuales \(\{e^{2\pi i \lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\) es una Base Ortonormal de \(L^2(\mu)\) (conjuntos de frecuencias ortogonales) . Dutkay, Hausserman y Lai al dieron ciertas propiedades para el caso inicial de la medida con \(\rho=1/4\) y \(D=\{0,2\}\) [5].
En este trabajo [6] consideramos ciertas medidas de Cantor \(\mu\), donde \(\rho=p^{-k}\), con \(p\) un número primo positivo, y el conjunto \(D\) de dígitos consta de \(m\) enteros positivos que pertenecen a clases residuales distintas módulo \(p^k\). Para esta familia de medidas, obtenemos una caracterización completa de los conjuntos de frecuencias ortogonales maximales enteras de exponenciales en \(L^2(\mu)\).
Más específicamente. Dado \(\Lambda\subset\mathbb{Z}\) un conjunto de frecuencias ortogonales, para cada \(\lambda\in \Lambda\) consideramos su desarrollo en base \(p^k\), es decir, obtenemos una sucesión \((d_j=d_j(\lambda))\) con \(0\leq d_j<p^k\) tal que \(\lambda=\sum d_j(p^k)^j\). Entonces, los dígitos \(d_j\) no pueden tomar los \(p^k\) valores posibles sino solamente \(m\).
Referencias
[1] Palle ET Jorgensen and Steen Pedersen. Dense analytic subspaces in fractal L^2-spaces. Journal d’Analyse Math´ematique, 75(1):185–228, 1998.
[2] Robert S Strichartz. Mock fourier series and transforms associated with certain cantor measures. Journal d’Analyse Math´ematique, 81(1):209–238, 2000.
[3] Izabella Laba and Yang Wang. On spectral cantor measures. Journal of Functional Analysis, 193(2):409–420, 2002.
[4] Dorin Dutkay, John Haussermann, and Chun-Kit Lai. Hadamard triples generate self-affine spectral measures. Transactions of the American Mathematical Society, 371(2):1439–1481, 2019.
[5] Dorin Ervin Dutkay, Deguang Han, and Qiyu Sun. On the spectra of a cantor measure. Advances in Mathematics, 221(1):251–276, 2009.
[6] Leandro Zuberman. On the spectra of Cantor measures. Preprint. arXiv:2605.18471