Sesión Geometría, Topología y Teoría de LieEstructuras Hermitianas Especiales en Álgebras de Lie Casi Nilpotentes
Bruno Stassi
FAMAF-UNC, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Un álgebra de Lie real \(g\) se dice casi nilpotente si su nilradical \(n\) tiene codimensión uno, esto es \(g=\mathbb{R}e_0\ltimes_D n\) con \(D=ad_{e_0}|_n\). Esta clase contiene a las casi abelianas y provee ejemplos de solvariedades compactas con estructuras hermitianas invariantes. Fino y Paradiso [1] estudian el caso de dimensión seis apoyados en la clasificación de las álgebras de Lie solubles en dimensiones bajas[2].
Presentamos primero un procedimiento para clasificar extensiones casi nilpotentes con nilradical \(n\) fijo: las clases de isomorfismo corresponden a órbitas de \(Aut(n)\times\mathbb{R}^*\) sobre \(H^1(n)=Der(n)/ad(n)\), y vía la descomposición de Jordan-Chevalley y los toros maximales de derivaciones el problema se separa en una parte semisimple y una nilpotente. Partiendo de los nilradicales nilpotentes reales de dimensión siete, 189 en total según las clasificaciones de Gong [3] y de Graaf [4], exactamente 59 admiten extensiones casi nilpotentes fuertemente unimodulares [5]. Aun así, cada órbita exige cálculos manuales y la clasificación completa se vuelve impracticable.
Por esta razón imponemos condiciones adicionales: algebraicas sobre el nilradical, como pedir que sea dos pasos nilpotente, o geométricas sobre la estructura compleja \(J\) o sobre la métrica hermitiana. Fijada alguna de ellas, o alguna combinación, cada condición se traduce en un sistema de ecuaciones. Con estas herramientas recuperamos algunos resultados conocidos en el caso Kähler [6,7], y en el caso LCK con nilradical dos pasos nilpotente el enfoque alcanza para dar una descripción más específica de las estructuras ya conocidas [8,9]. Las mismas ideas utilizadas para LCK se pueden aplicar a las métricas balanceada y SKT [10].
Trabajo en conjunto con: Marcos Origlia (Conicet-FAMAF).
Referencias
[1] A. Fino, F. Paradiso, Hermitian structures on six-dimensional almost nilpotent solvmanifolds, Math. Z. 310 (2025), no. 2, Paper No. 27.
[2] L. Snobl, P. Winternitz, Classification and Identification of Lie Algebras, CRM Monograph Series 33, American Mathematical Society, Providence, 2014.
[3] M.-P. Gong, Classification of nilpotent Lie algebras of dimension 7 (over algebraically closed fields and R), Ph.D. thesis, University of Waterloo, 1998.
[4] W. A. de Graaf, Classification of 6-dimensional nilpotent Lie algebras over fields of characteristic not 2, J. Algebra 309 (2007), 640-653.
[5] C. Bock, On low-dimensional solvmanifolds, Asian J. Math. 20 (2016), no. 2, 199-262.
[6] J. Deré, J. Lauret, On Ricci negative solvmanifolds and their nilradicals, Math. Nachr. 292 (2019), no. 7, 1462-1481.
[7] M. L. Barberis, I. Dotti, A. Fino, Hyper-Kähler quotients of solvable Lie groups, J. Geom. Phys. 56 (2006), 691-711.
[8] H. Sawai, A non-Vaisman LCK solvmanifold associated to a one-dimensional extension of a 2-step nilmanifold, Differential Geom. Appl. 96 (2024), 102174.
[9] A. Andrada, M. Origlia, Vaisman solvmanifolds and relations with other geometric structures, Asian J. Math. 24 (2020), no. 1, 117-145.
[10] R. M. Arroyo, M. Nicolini, SKT structures on nilmanifolds, Math. Z. 302 (2022), 1307-1320.