Sesión Geometría Algebraica, Teoría de Números y AplicacionesNúmeros excepcionales en la conversión entre bases enteras
Darío Devia
Universidad Nacional de General Sarmiento, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El teorema de Lochs y sus generalizaciones son teoremas de conversión entre bases de numeración (ver, por ejemplo,[1]). Estos estudian el comportamiento del número de dígitos en el desarrollo de un número real en una cierta base que quedan determinados como función del número de dígitos conocidos en alguna otra base. Este tipo de resultados, en general, se establecen en casi todo punto o en medida, con respecto de una medida boreliana del intervalo \([0,1]\). El teorema que Lochs probó en 1964 [4] compara el desarrollo decimal y el desarrollo en fracciones continuas.
El caso de los desarrollos en bases enteras \(b_1\) y \(b_2\) fueron estudiados por Dajani y sus colaboradores (ver, por ejemplo, [2] y [3]). En estos trabajos se prueba que si \(L_n(x,b_1,b_2)\) denota la cantidad de dígitos en la base \(b_2\) que se pueden determinar si se conocen \(n\) dígitos de \(x\in [0,1]\) en base \(b_1\), entonces, \[\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}L_{n}(x,b_1,b_2)=\frac{\ln b_1}{\ln b_2} \quad \text{c.t.p.} \quad \quad \quad \quad \text{(1)} \nonumber\] para la medida de Lebesgue. Decimos que un número \(x\in [0,1]\) no es de Lochs si (i) no es \(b_1\) o \(b_2\)-ádico y (ii) no cumple el límite (1). En esta comunicación mostraremos que si \(b_1\) y \(b_2\) son coprimos, existe un conjunto no numerable de números que no son de Lochs. Más precisamente, probaremos que la constante de Liouville en base \(b_2\) y sus generalizaciones de la forma \[z = \sum_{j=1}^{\infty} a_j \cdot b_2^{-j!}, \quad a_j \in \{1,...,b_2-1\}\nonumber\] satisfacen que \[\liminf_{n \to \infty} \frac{L_n(z, b_1,b_2)}{n} = 0.\nonumber\] Además, mostraremos que el conjunto excepcional para el límite (1) y las clases de Jarnik están vinculadas. En efecto, si \(z\in [0,1]\) es tal que existe \(r\in [0,1)\) para el cual \[\liminf_{n\to \infty} \frac{L_n(z,b_1,b_2)}{n}=r\dfrac{\ln b_1}{\ln b_2},\nonumber\] entonces el exponente de irracionalidad de \(\mu(z)\) de \(z\) satisface que \[\text{ si } r\neq 0,\ \mu(z)\ge\max\{2,1/r\} \quad \text{ y }\quad \text{ si } r=0,\ \mu(z)=\infty .\nonumber\]
Trabajo en conjunto con: Eda Cesaratto (Universidad Nacional de General Sarmiento, CONICET, Argentina).
Referencias
[1] V. Berthé, E. Cesaratto, P. Rotondo, and M. D. Safe. Lochs-type theorems beyond positive entropy. Monatshefte für Mathematik, 200(4):737–779, 2023.
[2] W. Bosma, K. Dajani, and C. Kraaikamp. Entropy quotients and correct digits in number-theoretic expansions. In Fran¸cois Blanchard, A. Maass, and A. Nogueira, editors, Dynamics & Stochastics, volume 48 of IMS Lecture Notes–Monograph Series, pages 176–188. Institute of Mathematical Statistics, Beachwood, OH, 2006.
[3] K. Dajani and A. Fieldsteel. Equipartition of interval partitions and an application to number theory. Proceedings of the American Mathematical Society, 129(12):3453–3460, 2001.
[4] G. Lochs. Vergleich der genauigkeit von dezimalbruch und kettenbruch. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 27:142–144, 1964.