Sesión Análisis Numérico y OptimizaciónAnálisis a posteriori del error para las ecuaciones estacionarias de Navier–Stokes con dato de Dirichlet poco regular
Mauricio Mendiluce
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (UBA) - IMAS (CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) un dominio convexo, acotado y con borde poligonal. El problema consiste en determinar el campo de velocidades \(\mathbf{u}: \Omega\to\mathbb{R}^2\) y la presión \(p:\Omega\to\mathbb{R}\) que satisfagan las ecuaciones estacionarias de Navier–Stokes
\[-\Delta\mathbf{u}+\text{Re}\,(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}+\nabla p \ = \ \mathbf{f} \quad \mbox{en }\, \Omega\] \[\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \nabla\cdot\mathbf{u} \ = \ 0 \quad \mbox{ en }\, \Omega \qquad \qquad (1)\] \[\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathbf{u} \ =\ \mathbf{g} \quad \mbox{ en }\, \partial\Omega,\]
donde \(\mathrm{Re}>0\) denota el número de Reynolds, \(\mathbf{f}\) la fuerza externa y \(\mathbf{g}\) el dato de Dirichlet con \(\mathbf{g} \in (L^2(\partial\Omega))^2\) y \[\int_{\partial \Omega }\mathbf{g}\cdot\mathbf{n} = 0. \qquad \qquad (2).\]
Para \(\mathbf{g}\in (L^2(\partial\Omega))^2\) es sabido que hay existencia de solución \(\mathbf{u}\) en \((L^4(\Omega))^2\) bajo el concepto de very weak solution [1]. Sin embargo, la escasa regularidad de esta solución impide aplicar directamente las técnicas estándar de estimación de error tanto a priori como a posteriori [2]. Para superar esta dificultad y obtener una formulación variacional clásica que nos permita aproximar la solución eficientemente mediante elementos finitos, introducimos una formulación regularizada considerando un dato de Dirichlet \(\mathbf{g}_h\in (H^{1/2}(\partial\Omega))^2\) tal que cumpla (2) y \(\|\mathbf{g}-\mathbf{g}_h\|_{L^2(\partial \Omega)}\to 0\) cuando la medida de la malla tiende a \(0\).
Para este nuevo problema, utilizando los elementos de Taylor-Hood \(P_2P_1\), construimos un estimador de error a posteriori de tipo residual y establecemos, bajo hipótesis adecuadas sobre los datos, su confiabilidad y eficiencia en la norma \(L^4\).
A partir de este resultado, y utilizando las estimaciones a priori del error probadas en [3], deducimos una estimación del error a posteriori para la solución del problema original [4]. Finalmente, presentamos resultados numéricos para el clásico cavity flow problem, los cuales muestran el buen desempeño del estimador y las ventajas de una estrategia adaptativa frente al refinamiento uniforme.
Trabajo en conjunto con: María Gabriela Armentano (Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UBA - IMAS, CONICET, Argentina).
Referencias
[1] E. Marusic Paloka. Solvability of the navier–stokes system with L2 boundary data. Appl Math Optim (41): 365–375, 2000.
[2] R. Verfurth, A posteriori error estimators and adaptive mesh-refinement techniques for the Navier–Stokes equations, in Incompressible Computational Fluid Dynamics: Trends and Advances, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, pp. 447–475.
[3] M. G. Armentano and M. Mendiluce, Finite element approximation of the stationary Navier–Stokes problem with non-smooth data, preprint, arXiv:2509.16461 [math.NA], 2026.
[4] M. G. Armentano and M. Mendiluce, A posteriori error analysis for the Navier-Stokes equations with non-smooth data, preprint, arXiv:2607.13014 [math.NA], 2026.