UMA 2022
El problema de encontrar $w(x,t)$ y $\Phi(x,t)$ en la ecuacion de Poisson \[w_{tt}+w_{xx}=\Phi(x,t)\]
sobre un dominio $E=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})$ o $E=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},\infty)$, bajo condiciones de Cauchy es posible resolverlo usando las tecnicas de problema inverso de momentos generalizados.\\ Se aproxima $w(x,t)$ en dos pasos:\\ Consideramos la ecuacion $w_{xx}-k w_{tt}=-(k+1) w_{tt}+\Phi(x,t)=G(x,t)$ , y la llevamos a la ecuacion integral \[\iint_{E}u(-\sqrt{k}w_{x}+k w_{t})dA=\varphi_{1}(r)\]
Con las tecnicas de problema inverso de momentos se encuentra una solucion aproximada $p_{1n}(x,t)$ para $-\sqrt{k}w_{x}+kw_{t} $.\\ Entonces consideramos la ecuacion $-\sqrt{k}w_{x}(x,t)+kw_{t}(x,t)=p_{1n}(x,t)$ y la llevamos a la ecuacion integral \[\int_{a_{1}}^{b_{1}}\int_{a_{2}}^{b_{2}}K(m,r,x,t)w(x,t)dtdx=\varphi_{2}(m,r)\]
con \[\varphi_{2}(m,r)=\int_{a_{1}}^{b_{1}}u(m,r,x,b_{2})kw(x,b_{2})-u(m,r,x,a_{2})kw(x,a_{2})dx-\] \[-\int_{a_{2}}^{b_{2}}u(m,r,b_{1},t)\sqrt{k}w(b_{1},t)-u(m,r,a_{1},t)\sqrt{k}w(a_{1},t)dt-\int_{a_{2}}^{b_{2}} \int_{a_{1}}^{b_{1}}p_{1n}(x,t)udxdt\]
La resolvemos y hallamos una aproximacion $p_{2n}(x,t)$ para $w(x,t)$.\\ Finalmente consideramos $w_{xx}(x,t)+w_{tt}(x,t)=\Phi(x,t)$ la llevamos a la ecuacion integral \[\therefore \iint u\Phi(x,t)dA=G(m,r)-\] \[-\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( w(b_{1},t)u_{x}(m,r,b_{1},t)-w(a_{1},t)u_{x}(m,r,a_{1},t)\right) dt-\] \[-\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( w(x,b_{2})u_{t}(m,r,x,b_{2})-w(x,a_{2})u_{t}(m,r,x,a_{2})\right) dx+\] \[+\iint_{E}wu \left(-\left(\frac{m}{b_{1}} \right)^{2}+\left( \frac{r}{b_{2}}\right) ^{2} \right) dA=\varphi_{3}(m,r)\]
Reemplazamos $w(x,t)$ por $p_{2n}(x,t)$ en $\varphi_{3}(m,r)$. y se halla una solucion aproximada $p_{3n}(x,t)$ para $ \Phi(x,t)$.\\ Se encuentra una cota para el error de la solucion estimada y se ilustra el metodo con ejemplos.