UMA 2022
Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ un abierto con borde poligonal dividido en dos subdominios $\Omega_S$ y $\Omega_D$, donde los subindices $S$ y $D$ simbolizan el medio fluido y el poroso respectivamente. Asumimos que $\overline{\Omega} = \overline{\Omega}_S \cup \overline{\Omega}_D$, $\Omega_S \cap \Omega_D = \emptyset$ y notamos $\Gamma_I =\overline{\Omega}_S \cap \overline{\Omega}_D$ la interfase entre el fluido y el medio poroso, $\Gamma_S = \partial \Omega_S \setminus \Gamma_I$ y $\Gamma_D = \partial \Omega_D \setminus \Gamma_I$.
El problema de Stokes-Darcy acoplado describe el movimiento de un fluido viscoso incompresible que ocupa la región $\Omega_S$ y que fluye a través de la interfase al medio poroso situado en $\Omega_D$. El modelo matemático de este problema puede ser definido por dos grupos separados de ecuaciones correspondientes a $\Omega_S$ y $\Omega_D$ y un conjunto de ecuaciones referentes al acople. Para cualquier función $\mathbf{v}$ definida en $\Omega$ notamos $\mathbf{v}_S = \mathbf{v}|_{\Omega_S}$ y $\mathbf{v}_D = \mathbf{v}|_{\Omega_D}$.
En $\Omega_S$, el movimiento del fluido está gobernado por la ecuación de Stokes: $$ \left\{ \begin{aligned} -\mu \Delta \mathbf{u}_S+ \nabla p_S &= \mathbf{f}_S,\, \mbox{ en } \Omega_S,\\ \mbox{ div } \mathbf{u}_S &= 0,\quad \mbox{ en } \Omega_S,\\ \mathbf{u}_S &= 0,\quad \mbox{ en } \Gamma_S, \end{aligned} \right. $$ donde $\mathbf{u}_S$ representa la velocidad del fluido, $p_S$ la presión, $\mathbf{f}_S \in (L^2(\Omega_S))^2$ la fuerza por unidad de masa y $\mu > 0$ la viscosidad.
Notamos por $\mathbf{n}_j$ la normal exterior en $\partial \Omega_j$, $j=S,D$. En la interfase $\Gamma_I$, tenemos $\mathbf{n}_S = -\mathbf{n}_D$. En $\Omega_D$, el movimiento del fluido en el medio poroso es gobernado por la ley de Darcy:
$$ \left\{ \begin{aligned} \frac{\mu}{K} \mathbf{u}_D + \nabla p_D &= \mathbf{f}_D,\, \mbox{ en } \Omega_D,\\ \mbox{ div } \mathbf{u}_D &= g_D,\, \mbox{ en } \Omega_D,\\ \mathbf{u}_D \cdot \boldsymbol{n_D} &= 0,\quad \mbox{ en } \Gamma_D, \end{aligned} \right. $$ con $\mathbf{u}_D$ la velocidad, $p_D$ la presión, $\mathbf{f}_D \in (L^2(\Omega_D))^2$, $g_D\in L^2(\Omega_D)$ y $K$ el tensor de permeabilidad aquí reducido a un escalar positivo pues consideramos el caso isotrópico.
En la interfase asuminos las siguientes condiciones: $$ \left\{ \begin{aligned} \mathbf{u}_D \cdot \mathbf{n}_D + \mathbf{u}_S \cdot \mathbf{n}_S &=0 , \\ p_S \, \mathbf{n}_{S} - \mu \nabla \mathbf{u}_S \, \mathbf{n}_{S} - p_D \, \mathbf{n}_{S}- \mu\frac{\alpha}{\sqrt{K}} (\mathbf{u}_S \cdot \mathbf{t} )\, \mathbf{t} &=0, \end{aligned} \right. $$
La primera ecuación representa la conservación de masa y la segunda es la condición de Beavers-Joseph-Saffman, $\alpha$ es un parámetro determinado por evidencia experimental y $\mathbf{t} $ es el vector tangente en $\Gamma_I$.
En este trabajo analizamos la resolución por elementos finitos del problema acoplado de Stokes-Darcy mediante el método de Taylor-Hood de orden más bajo, el cual emplea funciones continuas cuadráticas a trozos para la velocidad y funciones continuas lineales a trozos para la presión.
Los métodos de Taylor-Hood son unos de los métodos más usados para resolver el problema de Stokes, ya que para Stokes resultan ser estables y de simple aplicación, sin embargo pueden no ser apropiados para resolver el problema de Darcy y en consecuencia no ser adecuados para el problema de Stokes-Darcy acoplado. Presentamos entonces una reformulación del problema acoplado que nos permite utilizar el método de Taylor-Hood en el problema de Stokes-Darcy bajo consideración. La estabilidad del método se demuestra construyendo un operador de Fortin apropiado. El método propuesto resulta ser de orden óptimo y de muy simple implementación. Concluimos mostrando varios ejemplos numéricos que muestran la buena performance del método propuesto.
Trabajo en conjunto con: María Lorena Stockdale (Depto. de Matemática, FCEyN, UBA, Argentina).