UMA 2022
Dado un dominio acotado $\Omega$ y una función $f$ de promedio nulo en $\Omega$ obtenemos una descomposición $\{f_t\}_{t\in\Gamma}$, donde cada $f_t$ tiene promedio nulo y soporte $U_t$ y el conjunto de índices $\Gamma$ admite una estructura de árbol. Los conjuntos $U_t$ son dominios simples (e.g.: bolas, cubos, rectángulos). Probamos también una estimación de la suma de las normas (con peso) de las $g_t$ en términos de la norma (con peso) de $g$. Para ello utilizamos una desigualdad de tipo Hardy, discreta, con pesos y sobre árboles, para cuya validez obtenemos una condición suficiente dependiente de los pesos. Esta descomposición permite generalizar a dominios complejos resultados cuya validez es conocida sobre los dominios simples $U_t$.
Aplicamos esta técnica a dominios con frontera Hölder$-\alpha$ y a dominios de John, obteniendo como consecuencias: existencia de una inversa a derecha para el operador divergencia con su correspondiente estimación a priori, desigualdades de Poicaré mejorada y fraccionaria, desigualdad de Korn y una versión local de la desiguadad de Fefferman-Stein. En todos los casos trabajamos en espacios de Sóbolev con pesos de la forma $d(\cdot,\partial\Omega)^{\beta p}$.
Las singularidades que puede presentar la frontera de un dominio Hölder$-\alpha$ hacen que las desigualdades estudiadas requieran de un corrimiento en los exponentes. Nuestros resultados son válidos con la restricción: \[\beta p > -\alpha,\] lo que amplía el rango de exponentes previamente conocidos en la literatura.
El el caso de dominios de John, nuestros resultados son válidos para: \[\beta p > -(n-\dim_A(\partial\Omega)),\] donde $\dim_A(\partial\Omega)$ es la dimensión de Assouad del borde del dominio. Nuevamente, esta condición amplía el rango de pesos previamente conocido. Conjeturamos que en ambos casos las restricciones son óptimas.
Trabajo en conjunto con: Fernando López García, Cal Poly Pomona, California, Estados Unidos..
Referencias
[1] López-García, F., Ojea, I.; Weighted discrete Hardy inequalities on trees and applications, Potential Analysis, (2022) 10.1007/s11118-021-09982-5
[2] López-García, F., Ojea, I.; Some inequalities on weighted Sobolev spaces, distance weights and the Assouad dimension. En preparación.