UMA 2022
Se considera un dominio acotado $\Omega$ en $\mathbb{R}^d$ cuya frontera regular $\Gamma $ consiste de la unión de tres porciones disjuntas $\Gamma_{i}$, $i=1$, $2$, $3$ con $med(\Gamma_{i}) > 0$. Se formula el siguiente problema no lineal con condiciones de frontera mixtas [2]: \[ -\Delta u=g \ \ \mbox{en} \ \ \Omega, \ \quad u\big|_{\Gamma _{1}}=0, \ \quad -\frac{\partial u}{\partial n}\big|_{\Gamma_{2}}=q, \ \quad -\frac{\partial u}{\partial n}\big|_{\Gamma_{3}} \in \alpha \, \partial j(u), \] donde $\alpha$ es una constante positiva, $g\in L^{2}(\Omega)$, $q\in L^{2}(\Gamma_{2})$ y la función $j \colon \Gamma_{3} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, llamada superpotencial (potencial no convexo), es tal que $j(x, \cdot)$ es localmente Lipschitz para c.t.p. $x \in \Gamma_3$ y no necesariamente diferenciable. Esta condición multivaluada sobre $\Gamma_3$ es denotada por una relación no monótona expresada por el gradiente generalizado de Clarke [1,4]. La formulación débil de (1), está dada por la inecuación hemivariacional [2]: \[ \mbox{hallar} \ \ u \in V_0 \ \ \mbox{tal que} \ \ a(u,v) + \alpha \int_{\Gamma_{3}}j^{0}(u;v)\, d\Gamma \geq L(v), \ \ \forall v\in V_{0} \] donde $j^{0}$ representa la derivada direccional generalizada de Clarke, $a(u,v)=\int_{\Omega }\nabla u \, \nabla v \, dx$, $L(v)=\int_{\Omega}g v \,dx-\int_{\Gamma_{2}}q v \,d\gamma$ y $V_{0}=\{v\in H^{1}(\Omega): v = 0 \ \ \mbox{sobre} \ \ \Gamma_{1}\}$.
En relación a este problema y siguiendo [3], se formula para cada $\alpha > 0$, un problema de control óptimo simultáneo ($C_{\alpha}$), sobre la fuente de energía $g$ y el flujo de calor $q$, para un determinado funcional costo cuadrático y se prueba un resultado de existencia para los pares óptimos. Además, se considera un problema del tipo (1), con condición de Dirichlet sobre la porción de frontera $\Gamma_{3}$ y vinculado a este sistema, se formula un problema de control óptimo simultáneo ($C$), sobre la fuente $g$ y el flujo $q$. Se obtiene, un resultado de convergencia de los controles óptimos y los estados del sistema de ($C_{\alpha}$) al correspondiente control óptimo y estado del sistema de ($C$), cuando $\alpha$ tiende a infinito.
Trabajo en conjunto con: Carolina M. Bollo (Universidad Nacional de Río Cuarto, Argentina) y Domingo A. Tarzia (Universidad Austral-CONICET, Argentina).
Referencias
[1] Clarke F.H., Optimization and Nonsmooth Analysis}, Wiley, Interscience, New York (1983).
[2] Gariboldi C. M. - Migorski S. - Ochal A. - Tarzia D.A., Existence, comparison, and convergence results for a class of elliptic hemivariational inequalities, Appl. Math. Optim., 84 (Suppl 2) (2021), S1453-S1475.
[3] Gariboldi C. M - Tarzia D. A., Distributed optimal control problems for a class of elliptic hemivariational inequalities with a parameter and its asymptotic behavior, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 104 No.106027 (2022), 1-9.
[4] Migorski S. - Ochal A. - Sofonea M., Nonlinear Inclusions and Hemivariational Inequalities. Models and Analysis of Contact Problems, Springer, New York (2013).