Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónAcotación con dos pesos para integrales singulares asociadas a operadores de Schrödinger.
Juan Manuel Sotto Rios
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral. "Dra. Eleonor Harboure" (UNL-CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Estudiamos la acotación con dos pesos en \(\mathbb{R}^n\) (\(n \geq 3\)) para integrales singulares asociadas al operador de Schrödinger \(\mathcal{L}=-\Delta + V\), con \(V \geq 0\) en la clase \(RH_s\), \(1<s<\infty\). La localidad de estos operadores está regida por una función de radio crítico \(\rho\), asociada al potencial \(V\) (para más detalles ver [3]).
Consideramos la clase de pesos \(A_{p, \psi, q, \varphi}^\rho = \bigcup_{\theta \geq 0} A_{p, \psi, q, \varphi}^{\rho, \theta}\), donde \((u,v) \in A_{p, \psi, q, \varphi}^{\rho, \theta}\) si existe \(C\) tal que \[| Q |^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}} \| u^{1/q}\|_{\varphi,Q} \| v^{-1/p}\|_{\psi,Q} \leq C \left( 1+ \frac{\ell}{\rho(x)}\right)^\theta ,\] para todo cubo \(Q=Q(x,\ell)\), con \(\psi\) y \(\varphi\) funciones de Young.
En [2] se introducen una clase de operadores Schrödinger-Calderon-Zygmund(SCZ), y para ellos obtuvimos el siguiente resultado de acotación.
Teorema: Sean \(1<p\leq q < \infty\), \(T\) un operador de SCZ, \(\varphi\) y \(\psi\) funciones de Young tal que sus conjugadas pertenecen a \(B_{q'}\) y \(B_p\) respectivamente. Si \((u,v) \in A_{p, \psi, q, \varphi}^\rho \) entonces \[T : L^p(v) \to L^q(u)\,.\]
La demostración sigue la técnica introducida en [1], que descompone en una parte <<local>> y una <<global>>. La parte local es consecuencia de los resultados análogos para operadores integrales singulares locales y sus aplicaciones a ciertas localizaciones, mientras que la parte global se estima a partir del decaimiento del núcleo.
Como aplicación, obtenemos acotación con dos pesos para las transformadas de Riesz–Schrödinger \(\mathcal{R} = \nabla \mathcal{L}^{-1/2}\) y \(\mathcal{R}^\star =\mathcal{L}^{-1/2} \nabla \), bajo hipótesis de tipo Hölder inversa sobre el potencial \(V\).
Trabajo en conjunto con: Mauricio Ramseyer (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL)) y Oscar Salinas (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL)).
Referencias
[1] B. Bongioanni, E. Harboure, O. Salinas. Classes of weights related to Schrödinger operators. In J. Math. Anal. Appl. 373 (2011), 563–579.
[2] B. Bongioanni, E. Harboure, P. Quijano. Weighted inequalities for Schrödinger type singular integrals. In J. Fourier Anal. Appl. (2019).
[3] Zhong Wei Shen. Lp estimates for Schrödinger operators with certain potentials. In Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 45(2):513–546, (1995).