Sesión Análisis Funcional y ComplejoSobre la calidad de las aproximaciones de rango bajo
Gisela Tartaglia
CMaLP - UNLP, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En álgebra lineal numérica, un problema fundamental consiste en aproximar una matriz \(A\) de gran tamaño por una matriz \(B\) tal que \(\operatorname{rk}(B) = h < \operatorname{rk}(A)\). Aunque la SVD truncada \(A_h\) provee la solución teórica óptima, su cálculo resulta computacionalmente costoso. Como alternativa, suele considerarse \(B = P_{T_h} A\), donde \(P_{T_h}\) es la proyección ortogonal sobre un subespacio \(T_h\). Para ello, primero se determina un subespacio \(T\) con \(h \leq \dim(T)\) mediante métodos iterativos (SIM o métodos de subespacio de Krylov) y, posteriormente, se selecciona un subespacio dominante a izquierda \(T_h \subseteq T\) de dimensión \(h\) para \(P_T A\). Por lo tanto, evaluar la efectividad de \(T\) como base para la aproximación \(P_{T_h} A\) es un paso natural. Mientras que los resultados existentes en la literatura asumen la presencia de un gap entre valores singulares de \(A\): \(\sigma_h>\sigma_{h+1}\), en este trabajo extendemos el análisis al caso en que \(\sigma_h\approx \sigma_{h+1}\) (o incluso \(\sigma_h = \sigma_{h+1})\). Para ello estudiamos tres criterios: la proximidad entre los primeros \(h\) valores singulares de \(P_T A\) y \(A\); la distancia \(\Vert{}A - P_{T_h} A\Vert{}\) respecto al óptimo \(\Vert{}A - A_h\Vert{}\) en distintas normas unitariamente invariantes; y la cercanía (vía ángulos principales) de \(T\) y \(T_h\) a los subespacios admisibles (a izquierda) de dimensión \(h\) de \(A\). Establecemos además relaciones cuantitativas entre estos criterios.
Trabajo en conjunto con: Francisco Arrieta Zuccalli (CMaLP-UNLP / IAM- CONICET) y Pedro Massey (CMaLP- UNLP / IAM- CONICET).