Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónIFS correspondientes a subsistemas recurrentes en \(\mathbb{R}^{2}\)
Mariano Andrés Ferrari
Facultad de Ingeniería, UNPSJB, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Consideremos un sistema de funciones iteradas (IFS) compuesto por \(3\) similitudes en \(\mathbb{R}^{2}\): \(I^{1}=\{1,2,3\}\), \(\varphi_{i}(x)=r_{i}A_{i}x+p_{i}\), dónde \(r_{i}\in\mathbb{R}\), \(r_{i}<1\), \(p_{i}\in\mathbb{R}^{2}\) y \(A_{i}\) es una matriz ortogonal. Sea \(I\) el conjunto de sucesiones infinitas \(\omega=\omega_{1}\omega_{2}\omega_{3}\dots\), dónde \(\omega_{j}\in I^{1}\), y sea \(K\) el conjunto autosemejante asociado: \[K={\displaystyle \cup_{i\in I^{1}}}\varphi_{i}(K)=\cup_{\omega\in I}\lim_{k\rightarrow\infty}\varphi_{\omega_{1}\cdots\omega_{k}}(K)\,,\] dónde \(\varphi_{\omega_{1}\cdots\omega_{k}}=\varphi_{\omega_{1}}\circ\cdots\circ\varphi_{\omega_{k}}\).
Sea \(W^{2}\subset I^{2}\) tal que \(ab\in W^{2}\) si y sólo si \(\varphi_{ab}\neq\varphi_{i}\) para todo \(i\in I^{1}\), y \(\varphi_{ab}\neq\varphi_{ij}\) para todo \(ij\in I^{2}\) tal que \(ij<ab\) con respecto al orden lexicográfico. Entonces \(W\subset I\), \(W=\{\omega\in I:\omega_{k(k+1)}\in W^{2}\}\) es un subsistema recurrente o grafo dirigido asociado a un conjunto sub-autosemejante \(K_{W}=K\). El subsistema \(W\) elimina parte del solapamiento en \(I\) pero si está asociado a un grafo dirigido no conexo las relaciones usuales entre la dimensión de Hausdorff, la dimensión de similaridad y las condiciones de separación no son necesariamente válidas.
En esta presentación mostraremos que existen sistemas tales que el \(W\) así definido no es conexo y describiremos todos los sistemas de este tipo formados por 3 similitudes en \(\mathbb{R}^{2}\). Para la caracterización necesitaremos resolver ecuaciones que involucran matrices ortogonales y vectores de \(\mathbb{R}^{2}\) y nos preguntaremos sobre su posible generalización a mayores dimensiones.