Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónIntegral Singular local con dos pesos, técnica Sparse.
Mauricio Javier Ramseyer
IMAL (CONICET-UNL), AR - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Nuestro trabajo se desarrolla sobre un conjunto abierto y no vacío \(\Omega\) en \(\mathbb{R}^n\). Para \(\beta \in (0,1)\), consideramos la familia de cubos \(\mathcal{F}_\beta=\{Q(x,l): l < \beta\,d(x,\Omega^c)\}\), donde \(d\) es la métrica \(d_\infty\). Estudiamos dos tipos de operadores integrales singulares \(\beta\)-locales; por un lado con condiciones clásicas en el núcleo, \(T_\beta\) introducido en [3] y por el otro, con condiciones de tipo Hörmander sobre los mismos, \(\mathcal{T}_\beta\), vistos en [1]. En este contexto, la localía se ve reflejada en que \(T_\beta f(x)=0\), para todo \(x\) tal que \(\mathrm{supp}(f) \,\cap \, Q(x,\beta d(x,\Omega^c)) = \emptyset\).
La clase de pesos considerada es de tipo Muckenhoupt con refuerzos a través de normas Orlicz \(\psi\) y \(\phi\), esto es, para \(1<p \leq q<\infty\) decimos que el par de pesos \((u,v)\) pertenece a la clase \(A_{p,\psi,q,\phi}^{\beta}(\Omega)\) si y solo si \[[u,v]_{A_{p,\psi, q,\phi}^{\beta}} = \sup_{Q \in \mathcal{F}_\beta} {Q}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}} \left\Vert u^{\frac{1}{q}} \right\Vert_{\phi,Q} \left\Vert v^{-\frac{1}{p}} \right\Vert_{\psi,Q}<\infty \,.\]
Enunciamos ahora los resultados, para esto consideramos las clases de funciones \(B_p\) (ver [4]).
Teorema: Sean \(0<\tau<1\), \(1<p\leq q < \infty\) y \(u\), \(v\) dos pesos tales que , en donde \(\phi\) y \(\psi\) son funciones de Young tales que \(\overline{\phi}\) y \(\overline{\psi}\) pertenecen a \(B_{q'}\) y \(B_p\) respectivamente. Entonces, para cada \(\beta<\tau\) se cumple \[T_\beta : L^p(\Omega,v) \to L^q(\Omega,u)\,.\]
Teorema: Sean \(0<\tau<1\), \(1<s<\infty\), \(s'<p\leq q < \infty\) y \(u\), \(v\) dos pesos tales que \((u,v) \in A^{\tau}_{\frac{p}{s'},\psi,\frac{q}{s'},\phi}(\Omega)\), en donde \(\phi\) y \(\psi\) son dos funciones de Young tales que \(\overline{\phi_{s'}}\) y \(\overline{\psi}_{s'}\) pertenecen a \(B_{q'}\) y \(B_{p}\) respectivamente. Entonces, para cada \(\beta<\tau\) se cumple \[\mathcal{T}_\beta : L^p(\Omega,v) \to L^q(\Omega,u)\,.\]
Se adapta la técnica de los operadores sparse recientemente utilizada para operadores maximales fraccionarios en [4], con ideas tomadas de [2]. Estas estimaciones dan lugar a aplicaciones interesantes sobre operadores de tipo Schrödinger-Calderón-Zygmund definidos en [1].
Trabajo en conjunto con: Oscar Salinas (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL)) y Juan Manuel Sotto-Ríos (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL)).
Referencias
[1] Bruno Bongioanni, Eleonor Harboure and Pablo Quijano. ``Weighted inequalities for Schrödinger type singular integrals''. J. Fourier Anal. Appl., 25(3):595--632, 2019.
[2] David Cruz-Uribe. ``Two weight inequalities for fractional integral operators and commutators''. In Advanced courses of mathematical analysis VI, pages 25--85. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2017.
[3] Eleonor Harboure, Oscar Salinas and Beatriz Viviani. ``Local fractional and singular integrals on open subsets''. J. Anal. Math., 138(1):301--324, 2019.
[4] Mauricio Ramseyer, Oscar Salinas, Juan Manuel Sotto-Ríos and Marisa Toschi. ``Sparse Approach to the Two-Weight Boundedness of Local Operators and Applications''. The Journal of Geometric Analysis, 36, 2026. 10.1007/s12220-026-02368-2.