Sesión Geometría, Topología y Teoría de LieUna versión topológica del teorema de Cartan-Hadamard y asfericidad de espacios en términos de caminos distinguidos
Juan Martin Perez Garber
DM, FCEN, UBA, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El teorema de Cartan-Hadamard para variedades Riemannianas afirma que si \(M\) es una variedad Riemanniana completa de dimensión \(n\) y de curvatura no positiva, para todo punto \(p\) en M, el mapa exponencial \(exp:T_pM \to M\) es un revestimiento (covering map). En particular, el revestimiento universal de \(M\) es difeomorfo a \(R^n\) y \(M\) resulta asférica. Un enunciado más general para espacios métricos afirma que si \(X\) es un espacio métrico con métrica localmente convexa, su revestimiento universal es globalmente convexo, y en particular contráctil (y por lo tanto X es asférico). La propiedad de asfericidad es central en geometría y topología. En esta charla voy a contar algunos resultados que obtuvimos en conjunto con Gabriel Minian sobre una versión topológica de este teorema, y que es aplicable a cualquier espacio topológico que admita revestimiento universal. Para esto utilizaremos un fibrado localmente trivial \(\Pi(X) \to X\), donde \(\Pi(X)\) es el espacio de clases homotópicas de caminos en \(X\) (con cierta topología conveniente). Veremos propiedades de este fibrado y aplicaciones del teorema a problemas de asfericidad. En el caso de que \(X\) sea una variedad Riemanniana de curvatura no positiva, \(\Pi(X)\) resulta equivalente (como fibrado) al fibrado tangente \(TX\).
Trabajo en conjunto con: Gabriel Minian.