Sesión Lógica y ComputabilidadUna dualidad para retículos distributivos con relaciones de precontacto
Sergio Celani
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Las relaciones de precontacto constituyen una generalización de las relaciones de contacto y surgen en teorías del espacio basadas en regiones. En el caso booleano, estas estructuras han sido ampliamente estudiadas desde perspectivas algebraicas y topológicas. Entre los principales resultados se encuentran la representación de álgebras de contacto mediante conjuntos regulares-cerrados obtenida por Dimov y Vakarelov [2] y la introducción de los espacios de \(2\)-precontacto, que permitió obtener un teorema de representación para álgebras de precontacto [3]. Más recientemente, Goldblatt y Grice [5] establecieron una dualidad categórica para álgebras de contacto, basada en espacios mereocompactos. Sobre esta base, Celani [1] obtuvo una nueva formulación de dicha dualidad en términos de clanes.
A diferencia del caso booleano, en el contexto distributivo no toda retículo con una relación de contacto admite una representación mediante conjuntos regulares-cerrados, por lo que las técnicas conocidas no pueden extenderse de manera directa [4].
Como respuesta a estas dificultades, se introduce la noción de espacio distributivo de \(2\)-precontacto, que proporciona el marco topológico adecuado para representar retículas distributivas con relaciones de precontacto. Estos espacios constan de un espacio topológico \(T_{0}\), un subconjunto denso de filtros primos y una relación binaria definida sobre este último. A diferencia del caso booleano, la topología de Priestley sobre el subconjunto de filtros primos no coincide, en general, con la topología subespacio inducida por la topología de \(X\), por lo que ambas topologías intervienen de manera esencial en la definición. A partir de los clanes de una retículo distributivo con precontacto se construye canónicamente un espacio distributivo de \(2\)-precontacto. Recíprocamente, a cada uno de estos espacios se le asocia una retículo distributivo de precontacto construido a partir de una familia de subconjuntos cerrados que reemplaza el papel desempeñado por los conjuntos regular-cerrados en el caso booleano.
Estas construcciones permiten establecer un teorema de representación para retículos distributivos con precontacto y obtener una dualidad categórica que extiende la representación topológica de Dimov y Vakarelov al contexto distributivo [4]. En esta comunicación vamos a presentar esta nueva representación y dualidad para retículos de precontacto y contacto.
Trabajo en conjunto con: Sergio A. Celani (Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires) y Luciana Valenzuela (Universidad Nacional de San Juan ).
Referencias
[1] S. A. Celani, Remarks on the topological duality for Boolean contact algebras, Published online on July 20, 2026 as doi: 10.21136/MB.2026.0148-25
[2] G. Dimov and D. Vakarelov, Contact algebras and region-based theory of space: A proximity approach I, Fund. Inform. 74 (2006), 209–249.
[3] G. Dimov and D. Vakarelov, Topological representation of precontact algebras and a connected version of the Stone duality theorem I, Topology Appl. 227 (2017), 64–101.
[4] I. Düntsch, W. MacCaull, D. Vakarelov, and M. Winter, Distributive contact lattices: Topological representation, J. Log. Algebr. Program. 76 (2008), 18–34.
[5] R. Goldblatt and M. Grice, Mereocompactness and duality for mereotopological spa- ces, in: K. Bimbó (ed.), J. Michael Dunn on Information Based Logics, Outstanding Contributions to Logic, vol. 8, Springer, Cham, 2016