Sesión Geometría Algebraica, Teoría de Números y AplicacionesEl conjunto de valores de polinomios ciclotómicos de orden primo en \(\mathbb{F}_q\)
Gastón Bidart Gauna
Instituto del Desarrollo Humano, Universidad Nacional de General Sarmiento, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea \(\mathbb{F}_q\) el cuerpo finito de \(q\) elementos de característica \(p\). Si \(f\in \mathbb{F }_{q}[x]\), decimos que \[V(f) = \{f(c) : c \in \mathbb{F}_q\}\] es el conjunto de valores de \(f\). Su cardinal se denota como \(|V(f)|\). La sección 8.3 del Handbook of Finite Fields [2] presenta un amplio panorama sobre el estudio del conjunto de valores de polinomios sobre \(\mathbb{F}_q\).
En este trabajo estudiamos el conjunto de valores de la familia de polinomios ciclotómicos \(\Phi_r \in \mathbb{F}_q[x]\) de orden primo \(r\) y \(p \geq 3\). Para esto, calculamos el único polinomio \(h\in\mathbb{F}_q[x]\) de grado \(d\leq q-1\) tal que \(h\equiv \Phi_r \pmod{x^q-x}\) y analizamos las curvas \[\frac{h(x) - h(y)}{x-y} = 0\] asociadas a cada polinomio \(h\) (ver [1], [3], [4]).
Como resultado principal, obtenemos cotas inferiores y superiores para el cardinal \(|V(\Phi_r)|\). Mostramos que si \(p\nmid d(d+1)\) y \(q>d^4\), entonces \(|V(\Phi_r)| > q/2\). Además, obtenemos una cota superior en términos del máximo común divisor entre el grado de la curva y \(q-1\).
Trabajo en conjunto con: Antonio Cafure (Instituto del Desarrollo Humano, Universidad Nacional de General Sarmiento, CONICET, Argentina).
Referencias
[1] J. Gomez-Calderon. “On the cardinality of value set of polynomials with coefficients in a finite field”. En: 1992.
[2] G. Mullen y D. Panario, eds. Handbook of Finite Fields. CRC Press, 2013
[3] S. Uchiyama. “Sur le nombre des valeurs distinctes d’un polynˆome `a coefficients dans un corps fini”
[4] J. F. Voloch. “On the number of values taken by a polynomial over a finite field”. En: Acta Arith 52 (1989), p´ags. 197-201