Sesión Geometría Algebraica, Teoría de Números y AplicacionesResiduos y series de Laurent algebraicas A-hipergeométricas
Federico Nicolás Martínez
Universidad Nacional de San Luis, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La teoría de funciones A-hipergeométricas de Gelfand, Kapranov, y Zelevinsky [1] da un marco algebraico unificado al estudio de las clásicas funciones hipergeométricas de Gauss, las series de Appell y otras versiones multivariadas. A partir de una configuración \(A\) de \(n\) puntos en \(\mathbb{Z}^d\) y un parámetro \(\beta\), definen un \(D\)-modulo holonómico que consiste de operadores tóricos que reflejan las relaciones entre los puntos de \(A\) y operadores de Euler que codifican homogeneidades definidas por el parámetro. La ventaja de esta teoría es que permite utilizar las propiedades combinatorias de \(A\), tales como triangulaciones, variedad tórica asociada, etc. para estudiar el espacio de soluciones. Por ejemplo, es posible construir, para parámetros genéricos, bases de soluciones holomorfas locales a partir de series asociadas a símplices de triangulaciones regulares de la cápsula convexa de \(A\).
Dadas \(d\) configuraciones enteras \(A_i\subset\mathbb{Z}^d\), \(i=1,\dots,d\) y la configuración de Cayley asociada \(A \subset \mathbb{Z}^{2d}\) consideramos polinomios de Laurent, con coeficientes genéricos y con estos exponentes: \[f_i(t)=\sum_{j=1}^{|A_i|}x_{ij}t^{\alpha_{ij}}, \ i=1,\dots,d, \quad t = (t_1, \ldots, t_d).\] Los residuos locales de Grothendieck asociados a las raíces comunes de estos polinomios, de formas diferenciales de la forma \(\frac{t^m}{ f_1 \dots f_d} \, \frac {dt}{t}\), con \(m\) entero en el interior de la suma de Minkowski \(A_1 + \dots + A_n\), son funciones \(A\)-hipergeométricas algebraicas, de homogeneidad \(\beta\) determinada por \(m\) en el así llamado cono de Euler-Jacobi.
En este trabajo demostramos que dada una celda mixta \(\sigma\) de una subdivisión regular de la suma de Minkowski, la suma de los residuos locales en las raíces asociadas a \(\sigma\) define una serie de Laurent algebraica y \(A\)-hipergeométrica. Mas aún, utilizando resultados de Gelfond y Khovanskii [2], damos una descripción explícita de las series así obtenidas y de su dominio de convergencia. En casos de baja dimensión y/o codimensión, aplicamos resultados de [3] para probar que estas series provenientes de los residuos son una base del espacio de series de Laurent algebraicas \(A\)-hipergeométricas.
Trabajo en conjunto con: Eduardo Cattani (University of Massachusetts, Amherst, U.S.A.) y Alicia Dickenstein (UBA-CONICET).
Referencias
[1] I. M. Gel'fand, A. V. Zelevinskii y M. M. Kapranov: Hypergeometric functions and toral manifolds, Funct. Anal. Appl. 23 (1989), no. 2, 94–-106.
[2] O. A. Gelfond y A. G, Khovanskii: Toric geometry and Grothendieck residues, Mosc. Math. J. 2 (2002), no. 1, 99–-112
[3] F. Rodr\'iguez Villegas: Integral ratios of factorials and algebraic hypergeometric functions, Preprint: arXiv:math.NT/0701362.