Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física MatemáticaUn modelo de Difusión-Penalización aplicado a la dispersión en alimentos
Ivan Mandelman
Facultad Regional Chubut, UTN, Puerto Madryn, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Este trabajo presenta y analiza un modelo de difusión penalizada para describir la dispersión de un aditivo en un medio alimentario con dominio acotado. El modelo se enfoca en geometrías regulares donde el proceso puede simplificarse a solo una dimensión espacial: la lámina plana, el cilindro alargado y la esfera.
El modelo matemático se basa en la ecuación de difusión clásica a la que se le añade un término de penalización que representa físicamente mecanismos de absorción, o reacción irreversible, entre otros. La ecuación gobernante tiene la forma general (en coordenadas cilíndricas):
\begin{equation}\label{penalized_model_cyl} \left\{ \begin{array}{ll} c_t = D\left(c_{rr} + \displaystyle\frac{c_r}{r}\right)- \mu c, & 0 \lt r \lt R,\ t \gt 0, \\[8pt] c(r,0) = c_0, & 0 \lt r \lt R, \\[8pt] c(R,t) = c_B, & t\geq0, \end{array}\right. \end{equation} donde $c:(0,R]\times\mathbb R\to \mathbb R$ es la concentración del aditivo en el alimento, $D$ es el coeficiente de difusión, $\mu \geq 0$ es el parámetro de penalización, $c_0$ es la concentración inicial y $c_B$ es la concentración constante en la frontera. Se puede observar que un valor bajo de $\mu$ acerca el comportamiento al de la difusión pura clásica.
Una de las ventajas de esta formulación es la obtención de la solución analítica para la concentración $c$ en cada una de las tres geometrías mencionadas [1]. Estas soluciones se expresan en forma de series infinitas, lo que constituye una ventaja significativa para el análisis y la predicción sin necesidad de recurrir a métodos numéricos.
Además, para facilitar la validación experimental se derivan las expresiones para la concentración total o media $c_T(t)$, integrando las soluciones analíticas sobre el dominio espacial: \begin{equation}\label{tot_conc_cyl} c_T(t) = \frac{2}{R^2}\int_0^Rc(r,t)r \ dr. \end{equation}
De esta manera, el modelo de Difusión-Penalización ofrece un marco teórico para describir procesos de transferencia de masa en alimentos donde la estructura del alimento impide la libre movilidad de los solutos. La disponibilidad de una solución analítica lo convierte en una herramienta valiosa para la optimización de procesos, el control de calidad o el diseño en la ingeniería de alimentos.
Trabajo en conjunto con: Ferrari Mariano (Centro para el Estudio de Sistemas Marinos, CESIMAR-CONICET, Puerto Madryn, Argentina) y Dima Jimena (Instituto de Biología Marina, IBIOMAR-CONICET, Puerto Madryn, Argentina).
Referencias
[1] CRANK, JOHN, The mathematics of diffusion, Oxford university press (1979).