Sesión Análisis armónico, real y teoría de aproximaciónCaracterización de pesos distancia en las clases $A_p$ de Muckenhoupt
Ignacio Gómez Vargas
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral (IMAL-UNL-CONICET). Santa Fe, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
$\hspace{0.5cm}$Dentro de la teoría de pesos $A_p$ de Muckenhoupt, las funciones de la forma $w(x)=|x|^{-\alpha}$, con $-n \lt \alpha \lt n(p-1)$, son ejemplos clásicos de elementos pertenecientes a esta clase. Dado que $|x|=\text{dist}(x,\{0\})$, los denominados $\mathbf{pesos\:distancia}$, definidos según las asignación $x\mapsto\text{dist}(x,E)^\theta$ con $E\subset\mathbb{R}^n$, engloban a estos ejemplos previamente conocidos y permiten plantear el siguiente interrogante: ¿qué condición geométrica se le debe imponer al conjunto $E$ para que éste tenga asociado un peso distancia perteneciente a alguna de las clases $A_p$? Recientemente, el concepto de $\mathbf{porosidad\:débil}$ ha surgido en la literatura especializada para dar una respuesta en el caso $p=1$. En resumidas cuentas, un conjunto $E\subset\mathbb{R}^n$ es débilmente poroso si y solo si existe $\alpha \gt 0$ tal que $w(x)=\text{dist}(x,E)^{-\alpha}\in A_1$ [3, 6]. Este resultado fue además extendido a espacios más generales que los euclídeos como lo son los espacios métricos con medida duplicante [5], los espacios de tipo homogéneo [1] e incluso ha sido reformulado en contextos laterales [2].
$\hspace{0.5cm}$En este trabajo, nos proponemos caracterizar los subconjuntos $E$ de $\mathbb{R}^n$ para los cuales se cumple que dado $p \gt 1$ existe $\theta\neq0$ tal que $\text{dist}(\cdot,E)^\theta\in A_p$. Debido a la contención $A_1\subsetneq A_p$, para esto será necesario introducir una nueva condición geométrica sobre dichos conjuntos que generalice a la de porosidad débil y que puede enunciarse de la siguiente forma. Dado un cubo $Q\subset\mathbb{R}^n$, consideremos la colección $\mathcal{D}_E(Q)=\{Q'\in\mathcal{D}(Q):Q'\cap\overline{E}=\emptyset\land\pi Q'\cap\overline{E}\neq\emptyset\}$ donde $\mathcal{D}(Q)$ denota la familia de subcubos diádicos de $Q$ y $\pi Q'$ es el padre diádico de $Q'$. Veremos que la condición adecuada es entonces la existencia de constantes $0 \lt s \lt 1$ y $C \gt 0$ tales que $$0 \lt \frac{\sup\left\{L \geq 0 : \sum_{Q' \in \mathcal{D}_E(Q) \land l(Q') \geq L} |Q'| \geq s|Q| \right\}}{\inf\left\{L \geq 0 : \sum_{Q' \in \mathcal{D}_E(Q) \land l(Q') \leq L} |Q'| \geq s|Q| \right\}} \leq C$$ para todo cubo $Q \subset \mathbb{R}^n$ que interseque $\overline{E}$ y donde $|Q'|$ y $l(Q')$ denotan el volumen y la longitud de lado de $Q'$, respectivamente. El resultado principal de este trabajo es el siguiente.
$\mathbf{Teorema}$. Sea \(E \subset \mathbb{R}^n\) un conjunto no vacío. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes.
(i) Existen constantes \(C \gt 0\) y \(0 \lt s \lt (1 + 2^n)^{-1}\) tales que la condición de arriba se cumple para todo cubo \(Q\subset \mathbb{R}^n\) que interseque \(\overline{E}\);
(ii) Para todo $p \in (1, \infty)$, existe $\theta \neq 0$ tal que $\text{dist}(\cdot, E)^\theta \in A_p$.
$\hspace{0.5cm}$Con respecto a la condición (i) del teorema anterior, discutiremos además de qué forma ésta engloba al concepto de porosidad débil propuesto en [3] y presentaremos un enfoque probabilístico que será de utilidad para el estudio de ejemplos concretos de conjuntos $E\subset\mathbb{R}$ que tienen asociados pesos distancia ya sea del tipo $A_p$ o meramente duplicantes $(\textit{doubling weights})$. Los resultados de esta comunicación están contenidos en [4].
Referencias
[1] H. Aimar, I. Gómez, and I. Gómez Vargas. Weakly porous sets and $A_1$ Muckenhoupt weights in spaces of homogeneous type, 2024. arXiv 2406.14369.
[2] H. Aimar, I. Gómez, I. Gómez Vargas, and F. J. Martín-Reyes. One-sided Muckenhoupt weights and one-sided weakly porous sets in $\mathbb{R}$. Journal of Functional Analysis, 289(10):111110, 2025.
[3] T. C. Anderson, J. Lehrbäck, C. Mudarra, and A. V. Vähäkangas. Weakly porous sets and Muckenhoupt $A_p$ distance functions. Journal of Functional Analysis, 287(8):110558, 2024.
[4] I. Gómez Vargas. New characterizations of Muckenhoupt $A_p$ distance weights for $p > 1$, 2025. arXiv:2507.18805.
[5] C. Mudarra. Weak porosity on metric measure spaces, 2024. arXiv 2306.11419.
[6] A. V. Vasin. The limit set of a Fuchsian group and Dyn’kin’s lemma. Journal of Mathematical Sciences, 129(4):3977– 3984, Sep 2005.