Sesión Ecuaciones Diferenciales y Probabilidad

Miércoles 20 de septiembre

Mañana - Lugar: Aula 54

Tarde - Lugar: Aula 54

Resúmenes

Miércoles 20 de septiembre, 8:40 ~ 9:20

El principio de compacidad por concentración para operadores no locales

Analía Silva

Departamento de Matemática, UNSL-IMASL, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Los operadores no locales o fraccionarios han resultado objeto de estudio en novedosas aplicaciones tales como problemas de obstáculo, optimización , finanzas, transición de fases, materiales estratificados, dislocación de cristales, membranas semipermeables y propagación de llamas, superficies mínimas, problemas elípticos con datos de medida, y muchos otros problemas.

Al igual que en el caso local, se sabe que la inclusión de los espacios de Sobolev fraccionarios en los espacios de Lebesgue, es continua y compacta hasta un cierto valor crítico. Nuestro objetivo es abordar el problema cuando hay perdida de compacidad en la inclusión. Una de las principales metas trabajando en este caso, es entender la razón por la cual una sucesión converge débil pero no fuerte. En el caso de las inmersiones de Sobolev clásicas esto fue resuelto por P.L.Lions con el famoso "Principio de compacidad por concentración (CCP)".

En esta charla discutiremos la extensión de dicho resultado al contexto no local. Más precisamente, estudiaremos el caso del p-laplaciano fraccionario, del p-laplaciano fraccionario magnético y del $g$-Laplaciano fraccionario. Finalmente, mostraremos como aplicar estos resultados para demostrar la existencia de solución para diferentes ecuaciones críticas no locales.

Trabajo en conjunto con: Julián Fernández Bonder (UBA-CONICET), Nicolas Saintier (UBA-CONICET) y Pablo Ochoa (UNCuyo-CONICET).

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Miércoles 20 de septiembre, 9:20 ~ 9:40

Trayectorias entre dos imágenes según la métrica de Fisher-Rao

Anibal Leonardo Chicco Ruiz

Facultad de Ingeniería Química - Universidad Nacional del Litoral , Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

La información de Fisher (ver [1]) es una medida de la cantidad de información sobre un parámetro desconocido que se puede extraer de una muestra aleatoria. La métrica de Fisher-Rao se utiliza para medir la distancia entre dos distribuciones de probabilidad, y las geodésicas en esta métrica son las trayectorias que minimizan dicha distancia (ver [2]).

Podemos considerar una imagen como una función no negativa $f$ definida en el cuadrado $Q=[0,1]\times [0,1]$ tal que $\iint_Q f=1$ y un ``pixelado'' de $f$ de nivel $j\in \mathbb{N}$ por la medida de probabilidad \[\mu^j=\sum_{k\in\mathcal{K}(j)} \left(\int_{Q_k^j} f\right)\delta_{x^j_k},\] donde $\{Q_k^j:k\in\mathcal{K}(j)\}$ es una partición diádica de $Q$ y $\delta_{x^j_k}$ la Delta de Dirac en un punto del cuadrado $Q_k^j$.

Al interpretar la geodésica de Fisher-Rao entre dos imágenes, se puede observar cómo los patrones de la distribución de probabilidades de los píxeles en la imagen A evolucionan gradualmente hacia los de la imagen B a medida que nos movemos a lo largo de la trayectoria.

En esta comunicación introduciremos la métrica de Fisher-Rao-Riemann, determinaremos las ecuaciones diferenciales que determinan las geodésicas y mostraremos resultados obtenidos mediante métodos numéricos. Interpretaremos estos resultados en términos de transporte de imágenes y analizaremos las trayectorias obtenidas.

Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, Santa Fe). y Ivana Gómez (Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, Santa Fe)..

Referencias

[1] Cover, Thomas - Elements of Information Theory, (Wiley, 2006)

[2] Peter, Rangarajan - Information Geometry for Landmark Shape Analysis: Unifying Shape Representation and Deformation, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence (2009).

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Miércoles 20 de septiembre, 9:40 ~ 10:00

Fórmulas asintóticas para los datos espectrales de los operadores de Stark en el semieje con condiciones de borde mixtas

Julio Hugo Toloza

Instituto de Matemática (INMABB), Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur (UNS) - CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Esta comunicación versa sobre el análisis espectral de operadores de Sturm-Liouville de la forma \[ H_{q,b} = -\frac{d^2}{dx^2} + x + q(x), \quad x \in [0,\infty), \] junto con la condición de borde $\varphi'(0) - b\varphi(0) =0$, $b\in\mathbb{R}\cup\{\infty\}$, donde el término $q$ es una función real perteneciente al espacio de Hilbert \[ \mathbf{\mathfrak{A}}_r = \left\{ q\in L^2_\mathbb{R}(\mathbb{R}_+,(1+x)^r dx)\cap\text{AC}[0,\infty) : q'\in L^2_\mathbb{R}(\mathbb{R}_+,(1+x)^r dx)\right\},\quad r > 1. \] Sea $\text{Ai}$ la función de Airy del primer tipo y $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesión de sus ceros, ordenados según valores absolutos crecientes (recordemos que son todos negativos). En [1] se obtuvieron las expansiones \[ \lambda_n(q) = -a_n + \pi (-a_n)^{-1/2}\int_0^\infty \text{Ai}^2(x+a_n)q(x)dx + O(n^{-1}), \] \[ \kappa_n(q) = - 2\pi (-a_n)^{-1/2}\int_0^\infty \text{Ai}(x+a_n)\text{Ai}'(x+a_n)q(x)dx + O(n^{-1}), \] para los autovalores y correspondientes constantes de normalización del problema de Dirichlet $b=\{\infty\}$ con $r\ge 2$ (por brevedad el caso $r\in(1,2)$ se omite en este resumen), expansiones que son uniformes en subconjuntos acotados de $\mathbf{\mathfrak{A}}_r$. En esta comunicación se anticiparán algunos resultados concernientes a las condiciones de borde mixtas $b\in\mathbb{R}$.

Trabajo en conjunto con: Alfredo Uribe (Universidad Autónoma Metropolitana -- Unidad Iztapalapa, México).

Referencias

[1] J. H. Toloza y A. Uribe, The Dirichlet problem for perturbed Stark operators in the half-line, Anal. Math. Phys. 13 (2023), 8 (40pp).

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Miércoles 20 de septiembre, 10:30 ~ 11:10

Existencia de soluciones positivas a un semipositone problem para el $p$-Laplaciano fraccionario

Raúl Emilio Vidal

FaMAF, Universidad Nacional de Córdoba, CIEM., Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En la charla se contará los resultados obtenidos en [1] junto con Emer Lopera y Camila López de la Universidad Nacional de Colombia, sede Manizales.

En este trabajo se prueba existencia de al menos una solución positiva para el siguiente semipositone problema no local \[ \displaystyle \left\{\begin{array}{rcll} (-\Delta)_p^s(u) &=& \lambda f(u) \qquad & \text{in} \ \ \Omega \\ u &=& 0 & \text{in} \ \ \mathbb{R}^N -\Omega , \end{array}\right. \] donde $\lambda > 0$ es un parámetro suficientemente chico y por $(-\Delta )_p^s$ denotamos al operador $p$-Laplaciano fraccionario. Además $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función continua sublineal y subcrítica.

Se mostrara que tomando $\lambda > 0$ suficientemente chico el funcional de energía asociado al problema (1) tiene estructura de paso de montaña y por lo tanto un punto critico $u_\lambda$ que es solución débil de (1). Luego logramos probar la existencia de al menos una solución positiva usando nuevos resultados de regularidad y un lema de Hopf para el operador $p$-Laplaciano fraccionario $(-\Delta )_p^s$.

Trabajo en conjunto con: Emer Lopera (Universidad Nacional de Colombia, sede Manizales) y Camila López (Universidad Nacional de Colombia, sede Manizales).

Referencias

[1] E. Lopera, C. López y R. V. Existence of positive solutions for a parameter fractional p-Laplacian problem with semipositone nonlinearity. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 526, Issue 2, October 2023. doi: 10.1016/j.jmaa.2023.127350.

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Miércoles 20 de septiembre, 11:10 ~ 11:30

Análisis de la existencia y naturaleza de soluciones periódicas para la ecuación de un péndulo no Newtoniano.

Stefania Demaria

Universidad Nacional Rio Cuarto, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Consideramos resolver el problema \begin{equation}\label{problemaPendulo} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{d}{dt}(\phi'(x'))=f(t,x,e) -sen(x)\\ x(0)=x(T) \quad x'(0)=x'(T), \end{array}\right. \end{equation} donde $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una N-función, y particularmente trabajaremos con una función $f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times[0,\infty)\to \mathbb{R}$ la cual es medible, T-periódica y par respecto de la primera variable, y cumple $f(t,x,e)x\geq 0$ y $f(t,x,0)=0$.

Para $e=0$ obtenemos una ecuación del tipo del péndulo relativista, esta última ecuación ha sido estudiada en diversos artículos [1,3,4,5].

Se trabajó con la formulación hamiltoniana del problema y para el caso $e=0$ se estudiaron condiciones donde hay existencia de soluciones pero no unicidad. Además para las condiciónes iniciales $x(0)=\xi$ donde encontramos existencia y unicidad se estudió el periodo como función de la amplitud inicial y utilizando el teorema de continuación global de Leray-Schauder [2], se mostró que ciertas soluciones $T$-periodicas se continuan para valores de $e$ positivos.

Dado que el problema (1) tiene una estructura variacional lagrangiana, usando métodos numéricos para ciertas funciones $f$ particulares, se buscaron soluciones $T$-periodicas y se analizó si ellas eran punto silla, máximos o mínimos del funcional integral asociado.

Trabajo en conjunto con: Fernando Mazzone. (Universidad Nacional de Río Cuarto, Argentina).

Referencias

[1] [Brezis et~al., 2010] Brezis, H., Mawhin, J., et~al. (2010). Periodic solutions of the forced relativistic pendulum. Differential and Integral Equations, 23(9/10):801--810.

[2] Llibre and Ortega, 2008] Llibre, J. and Ortega, R. (2008). On the families of periodic orbits of the sitnikov problem. SIAM J. Applied Dynamical Systems, 7:561--576.

[3] [Maro, 2013] Maro, S. (2013). Periodic solutions of a forced relativistic pendulum via twist dynamics. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 42(1):51--75.

[4] [Mawhin, 2010] Mawhin, J. (2010). Periodic solutions of the forced pendulum: Classical vs relativistic. Le Matematiche, 65.

[5] [Torres, 2008] Torres, P.~J. (2008). Periodic oscillations of the relativistic pendulum with friction. Physics Letters A, 372(42):6386--6387.

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Miércoles 20 de septiembre, 11:30 ~ 11:50

Algoritmos para la detección de comunidades

Nicolas Agote

Universidad de Buenos Aires, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

El modelo de bloques estocástico (Stochastic Block Model o SBM) [1] es un modelo de grafos aleatorios en el cual cada nodo cuenta con una etiqueta que determina sus conexiones. Más precisamente, se cuenta con una colección de nodos $V=\{1,\dots, n\}$ donde cada nodo pertenece a una de $k$ comunidades $\{1,\dots, k\}$ y hay una arista entre nodos $i$ y $j$ de acuerdo a una distribución Bernoulli con parámetro que depende de las comunidades a las que $i$ y $j$ pertenecen, y cada arista se asigna de manera independiente. El objetivo de la detección de comunidades es dado un grafo aleatorio proviniendo de este modelo predecir cuáles nodos conforman las distintas comunidades con una probabilidad asintóticamente alta de tener una precisión adecuada.

En esta charla voy a presentar algunos algoritmos para realizar estas predicciones y relaciones entre ellos: algunos basados en paseos al azar en el grafo determinado por el modelo y grafos inducidos por él, y otros de la literatura como los que se pueden encontrar en [1], en [2] (basados en métodos espectrales) y en [3] (basados en encontrar una partición que realice una variante de corte mínimo para el grafo del modelo). En todo caso se estudia el modelo donde los parámetros de las distribuciones Bernoulli que determinan las aristas están en el orden $\frac{\log(n)}{n}$. Este trabajo está siendo realizado para mi tesis de licenciatura, bajo la dirección de Inés Armendáriz (Universidad de Buenos Aires, Argentina).

Trabajo en conjunto con: Inés Armendáriz (Universidad de Buenos Aires, Argentina), Pablo Ferrari (Universidad de Buenos Aires, Argentina), Florencia Leonardi (Universidade de São Paulo, Brasil) y Julio Rossi (Universidad de Buenos Aires, Argentina).

Referencias

[1] Abbe, Emmanuel. (2017) ''Community Detection and Stochastic Block Models''. Disponible online en https://arxiv.org/abs/1703.10146

[2] Mossel, Elchanan y Neeman, Joe y Sly, Allan. (2016) ''Consistency thresholds for the planted bisection model'' Electronic Journal of Probability 21, no. 21, 1--24. Disponible online en https://arxiv.org/abs/1407.1591

[3] Hein, Matthias y Bühler, Thomas. (2010) ''An Inverse Power Method for Nonlinear Eigenproblems with Applications in 1-Spectral Clustering and Sparse PCA''. Disponible online en https://arxiv.org/abs/1012.0774

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Miércoles 20 de septiembre, 15:00 ~ 15:20

Aplicación de espacios de interpolación al estudio de problemas de Stefan fraccionarios en el espacio

Lucas Venturato

Universidad Austral, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En este trabajo analizaremos un problema de Stefan fraccionario en el espacio, cuya ecuación gobernante viene dada por \[u_t-\frac{\partial}{\partial x} D^\alpha u=0,\] donde $D^\alpha$ representa la derivada de Caputo de orden $\alpha$. Consideraremos en $x=0$ condiciones de Dirichlet y de Neumann fraccionaria. Definiremos dominios adecuados para el operador $\frac{\partial}{\partial x} D^\alpha$, denotados por $\widetilde{\mathcal{D}}_\alpha$ para el caso Dirichlet y $\mathcal{D}_\alpha$ para el caso Neumann fraccionario. Presentaremos además una caracterización para el espacio de interpolación $[L^2(0,1),\mathcal{D}_\alpha]_\theta$, y una estimación de normas de la forma \[||u||_{H^{\delta}(\varepsilon,\omega)}\leq c||u||_{[L^2(0,1), \widetilde{\mathcal{D}}_\alpha]_\frac{\delta}{1+\alpha}},\] necesarias para la obtención de los resultados de existencia y unicidad de solución a los problemas considerados.

Trabajo en conjunto con: Sabrina D. Roscani (Universidad Austral, Argentina) y Katarzyna Ryszewska (Warsaw University of Technology, Poland).

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Miércoles 20 de septiembre, 15:20 ~ 15:40

Método en el dominio de la frecuencia aplicado al estudio de centros isócronos

Cinthya Anabel Bares

Instituto de Inv. en Ing. Eléctrica IIIE (UNS-CONICET) - Depto. de Matemática, UNS, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Por medio de un método en frecuencia se tiene una herramienta valiosa para caracterizar la dinámica de los ciclos límites en un sistema dinámico de segundo orden. La metodología en el dominio frecuencia consiste en representar un sistema no lineal dado, en forma de lazo cerrado, que consta de una parte lineal con función de transferencia $G(s)$, con una realimentación no lineal. El objetivo es capturar la presencia de una oscilación suave, de una frecuencia dada, causada por una bifurcación de Hopf. Este fenómeno incluye la aparición de ciclos límites desde el punto de equilibrio, al variar algún parámetro del sistema. Es importante tener en cuenta que el abordaje del teorema de Bifurcación de Hopf en frecuencia requiere, muchas veces, un menor esfuerzo computacional que su versión en el dominio tiempo.

La estabilidad de la oscilación puede obtenerse mediante el signo de una expresión complicada, denominada coeficiente de curvatura o índice de Bautin. Este coeficiente involucra la contribución multilineal de las diferentes componentes vinculadas con los autovectores de los modos que ocasionan el cambio de estabilidad, esto es, cuando el punto de equilibrio pasa de foco estable a inestable o viceversa. Con estas mismas herramientas se puede calcular la aproximación (local) de la solución periódica. Además, de esta expansión también se analizará la variación de la frecuencia que tiene incidencia en el denominado fenómeno de isocronismo. En particular, puede ocurrir que la función período sea constante y todas las soluciones son órbitas cerradas con el mismo período, independientemente de su amplitud o energía. Para ilustrar este concepto, estudiaremos un péndulo simple, en el cual las oscilaciones de gran amplitud afectan el período de la oscilación. Sin embargo, existe otro tipo de péndulo que describe un arco de cicloide en el que se logra la sincronicidad, es decir, todas las oscilaciones tienen el mismo período.

Trabajo en conjunto con: Jorge L. Moiola (Instituto de Inv. en Ing. Eléctrica IIIE (UNS-CONICET)- Depto. de Ing. Eléctrica y de Computadoras, UNS) y Guillermo L. Calandrini (Instituto de Inv. en Ing. Eléctrica IIIE (UNS-CONICET)- Depto. de Ing. Eléctrica y de Computadoras, UNS- Depto. de Matemática, UNS).

Referencias

[1] A. I. Mees and L. O. Chua, “The Hopf bifurcation theorem and its applications to nonlinear oscillations in circuits and systems”, IEEE Trans. on Circuits and Systems 4, pp. 235-254 (1979).

[2] J. L. Moiola and G. R. Chen, Hopf Bifurcation Analysis: A Frequency-Domain Approach, World Scientific, Singapore (1996).

[3] J. L. Moiola, F. S. Gentile y G. R. Itovich, “Coeficientes de curvatura y coeficientes periódicos en la bifurcación de Hopf”, Reunión de Trabajo en Procesamiento de la Información y Control (RPIC, 2021), San Juan, pp. 295-300 (2021).

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Miércoles 20 de septiembre, 15:40 ~ 16:00

Resolución de una ecuación no lineal de Volterra en $L^{2}$ con técnicas de problema inverso de momentos

María Beatriz Pintarelli

Dep.de Matemática, Fac. de Ciencias Exactas, UNLP- Dep. Ciencias Básicas, Fac. Ingeniería, UNLP, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

El problema consiste en encontrar $y(x)$ en la ecuación \[y(x)+\int_{0}^{x}\psi(x,s,y(s))ds=g(x)\: x \geq 0\]

donde $ y(x) $ es la función desconocida y las funciones $ g(x) $ y $ \psi(x,s,y) $ son conocidas. Además $ \psi\epsilon[0,\infty)\times [0,\infty)\times R $.

También $ y $ ,$ g $ , y $ \psi $ son 2 veces continuamente diferenciables con respecto a $ x $.\\ El espacio subyacente es $ L^{2}[0,\infty) $.\\

Es posible resolver numéricamente el problema usando las técnicas de problema inverso de momentos generalizados.\\ Se aproxima $y(x)$ en dos pasos:\\ Primero diferenciamos la ecuación integral con respecto a $ x $ y anotamos $ h(t) = (t(T-t))^{2} $ con $ 0 \leq t \leq T $

Entonces

\[((y(x)-g(x))h(t))_{x}= -\left(\int_{0}^{x}\psi_{x}(x,s,y(s))ds+\psi(x,x,y(x)) \right)h(t)=G1(x,t) \]

Escribimos $ w(x,t)=(y(x)-g(x))h(t) $ definida en $ D={(x,t); 0 \leq x < \infty; 0 \leq t \leq T} $.\\

Consideramos la ecuación

\[w_{xx}(x,t)- w_{tt}(x,t)=G1(x,t)_{x}- w_{tt}(x,t)=H(x,t)\]

y la llevamos a una ecuación integral la cual se resuelve numéricamente y se encuentra una solución $ p_{1n}(x,t) $ para $ H(x,t) $.\\

Finalmente consideramos $w_{xx}(x,t)-w_{tt}(x,t)=p_{1n}(x,t)$ y la llevamos a una ecuación integral

\[\iint_{D}(y(x)-g(x))e^{-mx}dA=\dfrac{1}{\int_{0}^{T}h(t)dt}\left( \dfrac{-G(m,0)+\iint_{D}up_{1n}(x,t)dA}{m^{2}}\right) \] Esta ecuación integral se resuelve numéricamente y entonces $ p_{2n}(x) $ es una solución aproximada para $ y(x)-g(x) $. Es decir $ y(x)\approx g(x)+ p_{2n}(x) $ . \\ Se encuentra una cota para el error de la solución estimada y se ilustra el método con ejemplos.

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Miércoles 20 de septiembre, 16:00 ~ 16:20

Equivalencia y regularidad de soluciones débiles asociadas al operador p(x)-Laplaciano anisotrópico

Juan Federico Ramos Valverde

Universidad Nacional de San Juan, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Consideremos el problema no homogéneo

$$(1) \hspace{1cm} - \Delta_{p(x)} \,u = f(x,u, Du)$$

en un dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \geqslant 3$) donde $p: \Omega \to \mathbb{R}^N$ y $- \Delta_{p}$ es el operador $p(x)$ – Laplaciano anisotrópico:

$$- \Delta_{p(x)} \, u := - \displaystyle\sum_{i = 1}^{N}\partial_{x_i}(|\partial_{x_i} u |^{p_{i}(x) - 2} \partial_{x_i} u )$$

Para esta comunicación nos enfocamos en establecer la equivalencia entre soluciones débiles y soluciones viscosas para problemas no homogéneos de la forma (1). La prueba de que las soluciones viscosas son soluciones débiles se realiza mediante la técnica de regularización mediante convoluciones. Para la implicación inversa, desarrollamos principios de comparación para soluciones débiles.

Finalmente, mostraremos que ciertas soluciones viscosas de (1) son localmente Lipschitz. Esto es una hipótesis crucial para probar que las soluciones viscosas son de hecho soluciones débiles.

Trabajo en conjunto con: Pablo Ochoa (Universidad Nacional de Cuyo, Argentina).

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