Sesión Análisis
Miércoles 20 de septiembre
Mañana - Lugar: Aula 57
| Horario | Título | Expositor/a |
|---|---|---|
| 8:20 ~ 9:00 | Criterio de acotación para estimaciones endpoint en el contexto de expansiones polinomiales de Laguerre | Estefanía Dafne Dalmasso |
| 9:00 ~ 9:20 | Espacios BLO asociados al operador de Laguerre | Pablo Quijano |
| 9:20 ~ 9:40 | Operadores multilineales con oscilación acotada | Gonzalo Hugo Ibañez Firnkorn |
| 9:40 ~ 10:00 | Decaimientos de Fourier sobre el conjunto de Liouville | Iván Polasek |
| 10:30 ~ 10:50 | Linealización de funciones holomorfas Lipschitz | Verónica Dimant |
| 10:50 ~ 11:10 | Multiplicadores en espacios de Hardy de series de Dirichlet | Tomás Fernández Vidal |
| 11:10 ~ 11:30 | Un Teorema $T1$ para Operadores Integrales Fraccionarios | Bruno Urrutia |
| 11:30 ~ 11:50 | Desigualdades pesadas para operadores de tipo Schrödinger | Gabriela Rocío Lezama |
Tarde - Lugar: Aula 57
Jueves 21 de septiembre
Mañana - Lugar: Anfiteatro M
| Horario | Título | Expositor/a |
|---|---|---|
| 8:20 ~ 9:00 | Derivadas generalizadas en espacios de Hilbert | Fabián Eduardo Levis |
| 9:00 ~ 9:20 | Unicidad de Mejores Aproximantes en Espacios de Orlicz | Juan Costa Ponce |
| 9:20 ~ 9:40 | Propiedades del Mejor Aproximante Polinomial Extendido | Rosa Alejandra Lorenzo |
| 9:40 ~ 10:00 | Sucesiones de funciones cíclicas en espacios tipo Dirichlet y polinomios aproximantes óptimos | Alejandra Patricia Aguilera Aguilera |
| 10:30 ~ 10:50 | Aspectos geométricos en espacios de sucesiones de Marcinkiewicz | Silvia Lassalle |
| 10:50 ~ 11:10 | Desigualdades para el operador extendido de mejor aproximación en espacios de Lorentz | Federico Darío Kovac |
| 11:10 ~ 11:30 | Nuevos conceptos de ortogonalidad para matrices de índice 1 | Ruth Paola Moas |
| 11:30 ~ 11:50 | Nuevas caracterizaciones del orden parcial diamante | Valentina Orquera |
Tarde - Lugar: Anfiteatro M
| Horario | Título | Expositor/a |
|---|---|---|
| 15:00 ~ 15:40 | Descomposición atómica para el espacio de Hajlasz de funciones con gradiente generalizado en $L^1$. | Ricardo Durán |
| 15:40 ~ 16:00 | Desigualdades de Poincaré-Sobolev en espacios producto. | Carolina Alejandra Mosquera |
| 16:00 ~ 16:20 | Desigualdades en norma con pesos para operadores de Schrödinger en espacios de Lebesgue variables | Adrián Cabral |
| 16:50 ~ 17:10 | Desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund en espacios de Lebesgue con exponente variable. | Marcos Bonich |
| 17:10 ~ 17:30 | Generalized porosity and Muckenhoupt weights | Ignacio Javier Gómez Vargas |
| 17:30 ~ 17:50 | Pesos $C_{p}$ locales y conjuntos homogéneos localmente | Federico Augusto Campos |
| 17:50 ~ 18:10 | Algunas propiedades de los marcos de fusión duales oblicuos aproximados | Jorge Díaz |
Viernes 22 de septiembre
Mañana - Lugar: Aula 54
| Horario | Título | Expositor/a |
|---|---|---|
| 9:00 ~ 9:20 | Problemas de multi-aproximación simultánea | Noelia Belén Rios |
| 9:20 ~ 9:40 | Problemas de distancias entre G-marcos | María José Benac |
| 9:40 ~ 10:00 | Truncamiento de Sistemas Shift-Invariantes Generalizados | Pablo Garcia Alvarez |
Tarde - Lugar: Aula 54
| Horario | Título | Expositor/a |
|---|---|---|
| 14:00 ~ 14:20 | Programación cuadrática con una restricción cuadrática en espacios de Hilbert | Francisco Martínez Pería |
| 14:20 ~ 14:40 | Aspectos geométricos de proyecciones con conmutador fijo. | Micaela Chaile |
| 14:40 ~ 15:00 | Mínimos locales para la distancia a flujos de mayorización | Mariano Ruiz |
| 15:20 ~ 15:40 | Teoremas de densidad en grupos LCA con automorfismo expansivo | Rocío Nores |
| 15:40 ~ 16:00 | Homogeneidad y Principios de Incertidumbre Aditivos y Multiplicativos | Joaquín Toledo |
| 16:00 ~ 16:20 | Entrelazado de bases y marcos | Felipe Negreira |
| 16:50 ~ 17:10 | IFS, subsistemas y conexidad | Mariano Andrés Ferrari |
| 17:10 ~ 17:30 | Distancia entre espacios métricos de probabilidad y aplicaciones | Carlos Exequiel Arias |
| 17:30 ~ 17:50 | Dilataciones en Espacios de Besicovitch | MELISA Scotti |
Resúmenes
Miércoles 20 de septiembre, 8:20 ~ 9:00
Criterio de acotación para estimaciones endpoint en el contexto de expansiones polinomiales de Laguerre
Estefanía Dafne Dalmasso
IMAL (CONICET-UNL) - FCE/FIQ (UNL), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla daremos un criterio que nos permite obtener resultados de acotación para diferentes operadores del análisis armónico en los casos extremos $H^1$--$L^1$ y $L^\infty$--BMO, sobre el espacio de probabilidad $((0,\infty),\gamma_\alpha)$, siendo ${d\gamma_\alpha (x)=\frac{2}{\Gamma(\alpha+1)} x^{2\alpha+1} e^{-x^2} dx}$, $x\in (0,\infty)$ y $\alpha > -\frac12$. Mostraremos su aplicación para conseguir las estimaciones correspondientes para una amplia gama de operadores en el contexto de Laguerre, tales como transformadas de Riesz, operadores maximales, funciones de Littlewood-Paley, multiplicadores de tipo Laplace, integrales fraccionarias, entre otros.
Trabajo en conjunto con: Jorge Betancor (Universidad de La Laguna, España), Pablo Quijano (IMAL (CONICET-UNL) - FIQ (UNL), Argentina) y Roberto Scotto (FIQ (UNL), Argentina).
Miércoles 20 de septiembre, 9:00 ~ 9:20
Espacios BLO asociados al operador de Laguerre
Pablo Quijano
IMAL (UNL - CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Introducimos espacios de tipo $\text{BLO}$ asociados a expansiones en polinomios de Laguerre. Consideramos en $(0,\infty)$ la medida $d\gamma_\alpha = e^{-x^2}x^{2\alpha+1}dx$, con $\alpha > -1/2$ y una familia de bolas admisibles denominada $\mathcal{B}_a$ para $a > 0$. El espacio $\text{BLO}_a((0,\infty),d\gamma_\alpha)$ consiste en aquellas funciones medibles definidas en la semirrecta con oscilación inferior acotada sobre las bolas de $\mathcal{B}_a$ y respecto a $d\gamma_\alpha$.
Probamos que el operador maximal y los operadores de variación y oscilación associados a truncaciones locales de las transformadas de Riesz en el contexto Laguerre son acotados de $L^{\infty}((0,\infty),d\gamma_\alpha)$ en $\text{BLO}_a((0,\infty),d\gamma_\alpha)$. Además, obtenemos un resultado similar para el operador maximal asociado a truncaciones locales de multiplicadores de tipo transformada de Laplace espectral.
Trabajo en conjunto con: Jorge J. Betancor (Universidad de La Laguna, España) y Estefanía Dalmasso (IMAL (UNL - CONICET)).
Miércoles 20 de septiembre, 9:20 ~ 9:40
Operadores multilineales con oscilación acotada
Gonzalo Hugo Ibañez Firnkorn
Instituto de Matemática (INMABB), Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur (UNS)-CONICET, Bahía Blanca, Argentina, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla extendemos la definición de operadores con oscilación acotada, dada por Karagulyan en [1], al contexto de operadores multilineales a valores en un espacio de Banach. Esta definición de operadores abarca diversos operadores conocimos, por ejemplo: el operador Maximal multilineal, los operadores $\omega$-Calderón-Zygmund multilineales y los operadores integrales de Fourier multilineales.
Para los operadores multilineales con oscilación acotada y sus conmutadores se prueba una dominación sparse adecuada. Además, definiendo una clase de pesos adecuada se estudian la desigualdad de tipo débil y la desigualdad de tipo fuerte para estos operadores y sus conmutadores.
Trabajo en conjunto con: Mingming Cao ( Instituto de Ciencias Matemáticas, Madrid, España), Israel P. Rivera-Ríos (Universidad de Málaga, Málaga, España - Departamento de Matemática. Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca, Argentina), Qingying Xue (Beijing Normal University, Beijin, People's Republic of China) y Kôzô Yabuta (Kwansei Gakuin University, Sanda, Japan).
Referencias
[1] Karagulyan, Grigori A. An abstract theory of singular operators. Trans. Amer. Math. Soc. 372 (2019), no. 7, 4761--4803.
Miércoles 20 de septiembre, 9:40 ~ 10:00
Decaimientos de Fourier sobre el conjunto de Liouville
Iván Polasek
IMAS-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Nos interesa entender los posibles decaimientos de Fourier para medidas soportadas en conjuntos con dimensión de Fourier nula. Cuando la dimensión de Fourier de un conjunto es cero, sabemos que ninguna medida soportada en el conjunto puede decaer como el recíproco de una potencia, es decir, no existe $\alpha > 0$ tal que \[ \hat{\mu}(|\xi|) \lesssim |\xi|^{-\alpha}. \] Sin embargo, podría ocurrir que aún así el conjunto soportase una medida de Rajchman, es decir, una medida cuya transformada de Fourier tiende a $0$ en el infinito.
En el caso particular del conjunto $\mathbb{L}$ de números de Liouville, Bluhm probó que este conjunto soporta una medida de Rajchman. Tomando como punto de partida la construcción de Bluhm, nos preguntamos qué decaimientos pueden admitir las medidas soportadas en $\mathbb{L}$ y estudiamos condiciones que garantizan la existencia de medidas de Rajchman con decaimientos específicos.
Trabajo en conjunto con: Ezequiel Rela (Universidad de Buenos Aires - CONICET, Argentina).
Miércoles 20 de septiembre, 10:30 ~ 10:50
Linealización de funciones holomorfas Lipschitz
Verónica Dimant
Universidad de San Andrés & CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla estudiamos el espacio $\mathcal HL_0(B_X,Y)$ formado por funciones $f:B_X\to Y$ holomorfas y Lipschitz que satisfacen $f(0)=0$, siendo $X$ e $Y$ espacios de Banach complejos y $B_X$ la bola unidad abierta de $X$. Este espacio, munido de la norma Lipschitz, es un espacio de Banach. Gracias al Teorema de Dixmier-Ng puede verse que $\mathcal HL_0(B_X)$ es un dual, cuyo predual $\mathcal G_0(B_X)$ permite obtener propiedades de linealización similares a las del Espacio de Lipschitz-libre y a las del predual de $\mathcal H^\infty(B_X)$. Presentaremos diversas relaciones, similitudes y diferencias entre estos espacios, además del impacto de la propiedad de aproximación y la simétrica regularidad en las extensiones al bidual.
Trabajo en conjunto con: Richard Aron (Kent State University), Luis Carlos García-Lirola (Universidad de Zaragoza) y Manuel Maestre (Universidad de Valencia).
Miércoles 20 de septiembre, 10:50 ~ 11:10
Multiplicadores en espacios de Hardy de series de Dirichlet
Tomás Fernández Vidal
IMAS-UBA-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En [1], Hedenmalm, Lindqvist y Seip definen el espacio de Hardy de series de Dirichlet $$\mathcal{H}_2 := \{D= \sum a_n n^{-s} : \sum \vert a_n\vert^2 < \infty \}$$ y estudian los multiplicadores del mismo, es decir, aquellas series de Dirichlet $D$ tales que $DE \in \mathcal{H}_2$ para toda $E \in \mathcal{H}_2$. El resultado que obtienen que es una serie $D$ es un multiplicador si y solo si pertenece al espacio de Banach $$\mathcal{H}_\infty := \{ D= \sum a_n n^{-s} : \sup\limits_{Re(s) > 0} \vert D(s) \vert < \infty\}.$$ A partir de este resultado prueban que una función $\varphi(x) = \sum a_n\sqrt{2} \sin(n\pi x) \in L_2(0,1)$ verifica que $\{\varphi(nx)\}_n$ es una sucesión de Riesz de $L_2(0,1)$ si y solo si tanto la serie de Dirichlet $D_\varphi(s) = \sum a_n n^{-s}$ como $(D_\varphi)^{-1}$ son multiplicadores de $\mathcal{H}_2$.
En [2] Bayart extiende la definición de los espacios de Hardy de series de Dirichlet. En este artículo, define para cada $1\leq p < \infty$ el espacio $\mathcal{H}_p$ y estudia los multiplicadores de los mismos, resultando en cada caso nuevamente el espacio $\mathcal{H}_\infty$.
En esta charla estudiaremos, dados $1\leq p,q \leq \infty$, los multiplicadores entre los espacios $\mathcal{H}_p$ y $\mathcal{H}_q$. Esto es, aquellas funciones $\varphi$ tales que $\varphi D \in \mathcal{H}_q$ para toda serie de Dirichlet $D\in \mathcal{H}_p$. A partir de la transformada de Bohr obtendremos resultados análogos para los espacios de Hardy de funciones definidas tanto en $\mathbb{T}^{\infty}$ como en $\ell_2 \cap \mathbb{D}^{\infty}$.
Trabajo en conjunto con: Daniel Galicer (Universidad de Buenos Aires, Argentina) y Pablo Sevilla Peris (Univesitat Politècnica de València, España).
Referencias
[1] Hedenmalm H., Lindqvist P., Seip K.. A Hilbert space of Dirichlet series and systems of dilated functions in L2(0, 1). Duke Math. J., 86(1):1–37, 1997.
[2] Bayart F. Hardy spaces of Dirichlet series and their composition operators. Monatshefte für Mathematik, 136(3):203–236, 2002.
Miércoles 20 de septiembre, 11:10 ~ 11:30
Un Teorema $T1$ para Operadores Integrales Fraccionarios
Bruno Urrutia
IMAL (CONICET - UNL), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Una herramienta relevante en el marco del estudio de familias de operadores integrales son los teoremas $T1$. En [1] podemos encontrar resultados sin pesos para operadores integrales singulares y fraccionarios, mientras que en [2] se estudia el caso pesado para integrales singulares.
En nuestro trabajo, a través del estudio de operadores maximales, logramos un resultado de acotación de operadores fraccionarios entre espacios de Lebesgue, lo que nos permitió dar un teorema $T1$ con condiciones equivalentes para la acotación de estos operadores en espacios de tipo $BMO$ con pesos.
Sea $T$ un operador integral con núcleo $K$, esto es $$Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^d} K(x,y)f(y)dy, x\in\mathbb{R}^d.$$
Sea $0 \lt \nu \lt d$, $1 \lt \sigma \lt \infty$, $0 \lt \delta \leq 1$. Decimos que un núcleo $K$ es un núcleo $\rho$-fraccionario de tipo $(\nu,\sigma,\delta)$ si, para cada $N \gt 0$, existe una constante $C_N$ tal que $$\left(\frac{1}{R^d} \int_{R \lt |x_0-y| \lt 2R} |K(x,y)|^{\sigma} dy \right)^{1/\sigma} \leq C_NR^{-d+\nu} \left(1+\frac{R}{\rho(x)}\right)^{-N},$$ para $|x-x_0| \lt R/2$ y $$\left(\frac{1}{R^d} \int_{R < |x_0-y| < 2R} |K(x,y)-K(x_0,y)|^{\sigma} dy \right)^{1/\sigma} \leq C_NR^{-d+\nu}\left(\frac{r}{R}\right)^{\delta} \left(1+\frac{R}{\rho(x)}\right)^{-N},$$ para $|x-x_0| \lt r \lt \rho(x_0)$ y $r \lt R/2$.
Teorema: Sea $T$ un operador integral con núcleo $K$, $\rho$-fraccionario de tipo $(\nu,\sigma,\delta)$ y de tipo débil $(1,d/(d-\nu))$. Sean $\beta$ y $\mu$ números fijos tales que $0 \lt \nu \lt d$, $0 \leq \beta \lt \delta$ y $1 \leq \mu \lt 1+\frac{\delta-\nu-\beta}{d}$. Luego, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) Existe una constante $C$ tal que la función $T1$ satisface $$\frac{1}{|B|^{1+\nu/d}}\int_{B}|T1(y)-(T1)_B|dy \leq C\left(\frac{r}{\rho(x_0)}\right)^{\beta+d(\mu-1)},$$ para toda bola $B=B(x_0,r)$, $x_0 \in \mathbb{R}^{d}$ y $0 \lt r \lt \rho(x_0)/2$, si $\beta \gt 0$ o $\mu \gt 1$, o $$\frac{1}{|B|^{1+\nu/d}}\int_{B}|T1(y)-(T1)_B|dy \leq C\log^{-1}\left(\frac{\rho(x_0)}{r}\right),$$ para toda bola $B=B(x_0,r)$, $x_0 \in \mathbb{R}^{d}$ y $0 \lt r \lt \rho(x_0)/2$, si $\beta = 0$ y $\mu = 1$.
(b) $T$ es acotado de $BMO^{\beta}_{\rho}(w)$ en $BMO^{\beta+\nu}_{\rho}(w)$ for every $\displaystyle w\in F_{\sigma}^{\rho}\cap D_{\mu}^{\rho}$ con norma del operador dependiendo solo de $w$ a través de las constantes de las clases $F_{\sigma}^{\rho}$ y $D_{\mu}^{\rho}$.
(c) $T$ es acotado de $BMO^{\beta}_{\rho}(w)$ en $BMO^{\beta+\nu}_{\rho}(w)$ para pesos de la forma $w(x) = |x-x_0|^{d(\mu-1)}$, $x_0\in\mathbb{R}^d$, con norma del operador independiente de $x_0$.
Trabajo en conjunto con: Bruno Bongioanni (Universidad Nacional del Litoral, Argentina) y Marisa Toschi (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).
Referencias
[1] Tao Ma, Pablo Raúl Stinga, José L. Torrea, and Chao Zhang. Regularity estimates in Hölder spaces for Schrödinger operators via a T1 theorem. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 193(2):561–589, 2014.
[2] Bruno Bongioanni, Eleonor Harboure, Pablo Quijano. Weighted inequalities for Schrödinger type singular integrals. J. Fourier Anal. Appl., 25(3):595–632, 2019.
Miércoles 20 de septiembre, 11:30 ~ 11:50
Desigualdades pesadas para operadores de tipo Schrödinger
Gabriela Rocío Lezama
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral Dra. Eleonor Harboure (UNL-CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $\mu$ una medida de Radón no negativa en $\mathbb{R}^d$, con $d\geq 3$ que satisface que existen constantes $\delta_\mu, C_\mu, D_\mu > 0$ tales que $$ \mu(B(x,r)) \leq C_{\mu}\left(\frac{r}{R}\right)^{d-2+\delta_\mu} \mu\left( B(x,R)\right) \quad \text{ y } \quad \mu(B(x,2r)) \leq D_\mu\left(\mu(B(x,r))+r^{d-2}\right),$$ para todo $x \in \mathbb{R}^d$ y $0$ $ < $ $r$ $ < $ $R$ y la función de radio crítico definida por \[ \rho_{\mu(x)}=\sup \left\{r > 0 :\frac{\mu(B(x,r))}{r^{d-2}}\leq 1\right\}. \]
A través de $\rho_\mu$ podemos definir la correspondiente distancia Agmon \[d_\mu (x,y)= {inf}_{\gamma}\int_0^1\rho(\gamma(t))^{-1}| \gamma'(t)| dt, \] donde el ínfimo se toma sobre todas las curvas $\gamma:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^d$ que conectan los puntos $x,y \in \mathbb{R}^d$; y las bolas $B_{\mu}(x,r) =\{y \in \mathbb{R} ^d : d_\mu(x,y) $ $ < $ $ r \}.$
En este trabajo consideramos operadores integrales lineales con núcleo asociado $K$, de la forma \[ Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^d}K\left(x,y\right)f\left(y\right) dy, \] con las siguientes condiciones de tamaño y suavidad \[\: \; \qquad | K\left(x,y\right) | \leq \frac{e^{-\epsilon d_{\mu} \left(x,y\right)}}{| x-y | ^{d-1}}\left( \int _{B\left(y,\frac{| x-y|}{2}\right)} \frac{d_\mu \left(z\right)}{| y-z |^{d-1}} + \frac{1}{| x-y |}\right) \qquad \mbox{ para todo } x, y \in \mathbb{R}^d \mbox{ con } x\neq y \] \[ | K(x,y)-K(x,z) | +| K(x,y)-K(z,x)|\leq C\frac{| y-z|^\delta }{| x-y|^{d+\delta} } \qquad \mbox{ cuando }| x-y| > 2\, | y-z |.\] Un caso particular de estos operadores son las trasformadas de Riesz asociadas al operador de Schrôdinger generalizado $\mathcal{L}_\mu=-\Delta + \mu.$
Se obtuvo un teorema de criterio $T1$ para establecer la continuidad de un operador $T$ como antes en espacios $BMO^\alpha_\rho(w)$, donde $w$ es un peso en la clase $\mathcal{H}^{\rho,m}_{p,c}$ definida en [2], la cual extiende a la familia de pesos $A^\rho_p $ definida en [1].
Trabajo en conjunto con: TOSCHI Marisa (IMAL (UNL-CONICET); FHUC (UNL);
Referencias
[1] B. Bongioanni, E. Harboure, and P. Quijano, Weigthed inequalities for Schrödinger type singular integrals , J. Fourier. Anal. Appl., 25 (2019), no. 3, 595–632.
[2] Bailey, Julian. Weights of exponential growth and decay for Schrödinger-type operators. J. Funct. Anal. 281 (2021), no. 1, 108996, 93 pp. MR4234858
Miércoles 20 de septiembre, 14:00 ~ 14:20
Sobre la converencia al dato inicial para el problema del calor en el grupo de Heisenberg.
Isolda Eugenia Cardoso
Universidad Nacional de Rosario, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El n\'ucleo del calor $q_s(z,t)$ para el sublaplaciano $\mathcal{L}$ en el grupo de Heisenberg $\mathbb{H}_n=\mathbb{C}^n \times \mathbb{R}$ tiene una expresi\'on integral $$q_s(z,t) = \frac{1}{2(4\pi s)^{n+1}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{\lambda}{\sinh \lambda} \right)^{n} e^{-\frac{|z|^{2}}{4s} \lambda \coth \lambda } e^{i \lambda \frac{t}{s}} d\lambda,$$que a diferencia del n\'ucleo del calor para el laplaciano eucl\'ideo, en la variable central $t$ no hay decaimiento gaussiano. En el presente trabajo hallamos condiciones de integrabilidad sobre el dato inicial $f$ para la existencia de soluciones al PVI del calor asociado a $\mathcal{L}$ en $\mathbb{H}_n$:
$u_{s}(z,t,s) = -\mathcal{L}u(g,s), \qquad (z,t,s)\in\mathbb{H}_{n}\times (0,S),$
$u(z,t,0) = f(z,t), \qquad (z,t)\in\mathbb{H}_{n}.$
Para esto, utilizamos algunas estimaciones que involucran propiedades geom\'etricas del espacio subyacente, en particular de la estructura subriemanniana de $\mathbb{H}_n$ que acarrea la distancia de Carnot-Caratheodory $d$, para la cual se tiene que $d(z,t)^2\sim |z|^2+|t|$. As\'i, tenemos una estimaci\'on bilateral de $q_s(x,t)$ por una funci\'on $\varphi_{s}(z,t)$ que depende de $d(z,t)$ y de $|z|$ (ver [1],[2]) $$\phi_s(z,t) = \frac{1}{s^{n-1}} e^{-\frac{d(z,t)^2}{4s}}\left(1+\frac{d(z,t)^{2}}{s}\right)^{n-1} \left( 1 + \frac{|z|d(z,t)}{s} \right)^{-n+\frac{1}{2}}.$$A partir de dicha funci\'on obtenemos las condiciones buscadas y adem\'as logramos definir una clase de pesos $D_p(\mathcal{L})$ para los cuales las soluciones existan a.e. cuando el tiempo $s$ se aproxima a cero. Exploramos adem\'as la pregunta natural acerca de la acotaci\'on del operador maximal local asociado. Este tipo de problemas para el caso eucl\'ideo y diferentes operadores ha sido estudiado en [3],[4],[5],[6] y recientemente en espacios m\'as generales: \'arboles homog\'eneos en [7] y en espacios sim\'etricos de tipo no compacto en [8].
Referencias
[1] H-Q Li, Estimations asymptotiques du noyau de la chaleur sur les groupes de Heisenberg. Comptes Rendus Math\'ematique, 751(8):477-544 (2007).
[2] H-Q Li, Y. Zhang, Revisiting the heat kernel on isotropic and nonisotropic Heisenberg groups. Communications in Partial Differential Equations, 44(6):467-503, (2019).
[3] S. Hartzstein, J. L. Torrea, B. Viviani, A note on the convergence to initial data of heat and Poisson equations. Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), no. 4, 1323–1333.
[4] Abu-Falahah, P. R. Stinga J. L. Torrea, A note on the almost everywhere convergence to initial data for some evolution equations, Potential Anal. 40 (2014), no. 2, 195–202.
[5] G. Garrig\'os, S. Hartzstein, T. Signes, J.L. Torrea, B. Viviani, Pointwise convergence to initial data of heat and Laplace equations, Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016), no. 9, 6575–6600.
[6] I. Cardoso, On the pointwise convergence to initial data of heat and Poisson problems for the Bessel operator, J. Evol. Equ. 17 (2017), no. 3, 953–977.
[7] I. Alvarez-Romero, B. Barrios, J. J. Betancor, Pointwise convergence of the heat and subordinates of the heat semigroups associated with the Laplace operator on homogeneous trees and two weighted Lp maximal inequalities, (Feb 2022) arXiv:2202.11210v1
[8] T. Bruno, E. Papageoriou, Pointwise convergence to initial data for some evolution equations on symmetric spaces, (July 2023), arXiv:2307.09281.
Miércoles 20 de septiembre, 14:20 ~ 14:40
Solución de Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias Secuenciales Lineales con Relación de Recurrencia usando la función $\gamma$-$\alpha$-$n$-Exponencial
Luciano L. Luque
Universidad Nacional del Nordeste, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El papel de la función exponencial en la solución de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes tiene su analogía con el papel de la función de Mittag-Leffler y sus generalizaciones en la solución de las ecuaciones diferenciales de orden no entero. La función exponencial tiene la importante propiedad de ser invariante, salvo constante, por las operaciones de diferenciación e integración. En el cálculo fraccionario, la función que tiene esta propiedad se llama $\alpha$-Exponencial y se define en términos de la función de Mittag-Leffler de dos parámetros (Ver, por ejemplo [1], [6]).
La dificultad de extender la función $\alpha$-Exponencial a través de generalizaciones de la función Mittag-Leffler con tres o más parámetros y preservar la invariancia a través de operaciones de diferenciación e integración fraccionaria impulsó la introducción de la definición de una nueva función de tipo Mittag-Leffler, la función $\gamma$-$\alpha$-$n$-Exponencial, que tiene una propiedad similar a la $\alpha$-Exponencial pero implica una relación recurrencia cuando se aplican operadores de diferenciación secuencial de Miller-Ross (ver [2] y [6]). El comportamiento particular de las derivadas secuenciales hace que una ecuación diferencial secuencial sea una generalización intuitiva de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
En [2] se introduce la teoría general básica para las Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias Secuenciales Lineales con Relación de Recurrencia (EDFSLRR), que involucra el operador fraccionario de Riemann-Liouville; donde se estudian principalmente las soluciones en el caso de coeficientes constantes. Luego, en [4] se investiga las soluciones para las EDFSLRR, en algunos casos cuando sus coeficientes son variables.
En la presente comunicación, se presenta una solución diferente a la ya conocida, presentada en [2], para las EDFSLRR. Esta solución implica una función de tipo Mittag-Leffler, que verifica una propiedad de recurrencia compatible con el comportamiento de las EDFSLRR. Las soluciones presentadas se dan usando la función $\gamma$-$\alpha$-$n$-Exponencial y también usando las funciones trigonométricas fraccionarias generalizadas definidas en [3].
Trabajo en conjunto con: Gustavo A. Dorrego (Universidad Nacional del Nordeste, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura, Argentina).
Referencias
[1] Kilbas H, Srivastava H, Trujillo J. Theory and Application of Fractional Direrential Equations. USA, Elsevier, 2006.
[2] Luque LL. Linear Differential Equations of Fractional Order with Recurrence Relationship. Progress in Fractional Differentiation and Applications 2021; 7 (1): 1-21. http://dx.doi.org/10.18576/pfda/070101
[3] Luque LL. On a generalized Mittag-Leffler function. International Journal of Mathematical Analysis, 2019; 13(5), 223-234. https://doi.org/10.12988/ijma.2019.9321
[4] Luque LL, Cerutti RA, Dorrego GA. Some Linear Fractional Differential Equations with Recurrence Relationship and Variable Coefficients. International Journal of Mathematical Analysis, 2022; 16(3), 97-113. https://doi.org/10.12988/ijma.2022.912420
[5] Miller KS, Ross B. Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differntial Equation. Wiley, 1993.
[6] Podlubny I. Fractional Differntial Equation. London, Academic Press, 1999.
Miércoles 20 de septiembre, 14:40 ~ 15:00
La Derivada Fraccionaria de Marchaud y Riemann-Liouville.
Juan Anibal Morel
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UNCa., Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Los tres enfoques más destacables de derivada fraccionaria corresponden a los de Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov y de Caputo, cada uno de los cuales tiene su importancia, el primero se destaca por ser una forma general de la mayoría de las definiciones expuestas sobre derivadas fraccionarias, mientras que el segundo es útil para estudiar el comportamiento asintótico de las derivadas fraccionarias y el último se utiliza para una gran variedad de aplicaciones, pues es flexible al estudiar ecuaciones diferenciales fraccionarias. La derivada fraccionaria de Marchaud involucra diferencias finitas que coinciden con la definición de Liouville para funciones suficientemente buenas, la ventaja de esta definición es que es aplicable a funciones que se comportan mal en el infinito. El presente trabajo tiene por objeto abordar la derivada fraccionaria de Marchaud a partir de la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville, enmarcado en el proyecto de investigación “Estudio de Funciones tipo Mittag-Leffler en el Cálculo Fraccionario”. Veremos que esta definición de derivada fraccionaria tiene propiedades similares al caso de la derivada de Riemann-Liouville, presentando ventajas y desventajas, que se observaran a partir de ejemplos que expondremos.
Trabajo en conjunto con: Emma Miryam Di Barbaro (Universidad Nacional de Catamarca, Argentina) y Alejandra del Carmen Acevedo (Universidad Nacional de Catamarca, Argentina).
Referencias
[1] Cerutti, R. A., Dorrego, G. A., y Luque, L. L. (2016). Cálculo Fraccionario y k-Funciones Especiales. Córdoba, Argentina: Editorial Científica Universitaria.
[2] Di Bárbaro, E. M., Acevedo, A. C. y Morel, J. A. (2020). Función tipo Mittag-Leffler y Transformada de Laplace. En Balocco, N. A. (Ed.), CTI Tomo I (pp. 202-220). Universidad Nacional de Catamarca. ISBN 978-987-661-411-5
[3] Morel, J. A. y Di Barbaro, E. M. (2020). Derivada Fraccionaria de Marchaud. En Balocco, N. A. (Ed.), CTI Tomo I (pp. 35-55). Catamarca: Editorial Científica Universitaria de la UNCA. ISBN 978-987-661-411-5
[4] Podlubny, I. Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications. Academic Press, USA, 1999.
[5] Samko, S. G., Kilbas, A. A., and Marichev, O. I. Fractional integrals and derivatives. Theory and applications. Translated from the 1987 Russian original, Gordon and Breach Science Publishers, Yverdon, 1993.
Miércoles 20 de septiembre, 15:00 ~ 15:20
New integral inequalities of the Hermite-Hadamard type for functions $(h, m)$-convex twice differentiable
Juan Eduardo Nápoles Valdés
UNNE-FaCENA, UTN-FRRE, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Convex functions have been generalized widely; highlighting the m-convex function, r-convex function, h-convex function, (h, m)-convex function, s-convex function and many others. Readers interested in going through many of these extensions and generalizations of the classical notion of convexity can consult [1].
For convex functions, the following inequality is known, undoubtedly one of the most famous in Mathematics, for its multiple connections and applications:
\[ \phi \left( \frac { a+b }{ 2 } \right) \leq \frac { 1 }{ b-a } \int _{{ a }}^{{ b }}\quad \phi (x)\, dx\leq \frac { \phi (a)+\phi (b) }{ 2 }, \]
this is called the Hermite–Hadamard inequality.
This inequality was published by Hermite in 1883 ( [2]) and independently by Hadamard in 1893 ( [3]). In the last 30 years especially, many researchers have focused their attention on this inequality and many results have appeared.
In [4] we presented the following definitions.
Let $h:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ be a nonnegative function, $h\neq 0$ and $\psi :I=[0,+\infty )\rightarrow \lbrack 0,+\infty )$. If inequality \[ \psi \left( \tau \xi +m(1-\tau )\varsigma \right) \leq h^{s}(\tau )\psi (\xi)+m(1-h^{s}(\tau ))\psi \left(\varsigma\right) \label{e:hmc1} \] is fulfilled for all $\xi ,\varsigma \in I$ and $\tau \in [0,1]$, where $m\in [0,1]$, $s\in [-1,1]$. Then a function $\psi $ is called a $(h,m)$-convex modified of the first type on $I$.
Let $h:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ nonnegative functions, $ h\neq 0$ and $\psi :I=[0,+\infty )\rightarrow \lbrack 0,+\infty )$. If inequality \[ \psi \left( \tau \xi +m(1-\tau )\varsigma \right) \leq h^{s}(\tau )\psi (\xi)+m(1-h(\tau ))^{s}\psi\left(\varsigma\right) \label{e:hmc11} \] is fulfilled for all $\xi ,\varsigma \in I$ and $\tau \in [0,1]$, where $m\in [0,1]$, $s\in [-1,1]$. Then a function $\psi $ is called a $(h,m)$-convex modified of the second type on $I$.
Remark. The reader can verify, without much difficulty, that various functional classes are particular cases of these definitions, for the appropriate choice of $h,m,s$.
Next we present the weighted integral operators, which will be the basis of our work.
Let $\phi \in L\left( [a,b]\right) $ and let $w $ be a continuous and positive function, $w :[0,1]\rightarrow [0,+\infty )$, with second order derivatives integrable on $I$. Then the weighted fractional integrals are defined by (right and left respectively):
\[ J_{a^{+}}^{w }\phi (r)=\int_{a}^{b}w''\left(\frac{\sigma -a}{b-a}\right) \phi (\sigma)d\sigma \]
and
\[ J_{b^{-}}^{w }\phi (r)=\int_{a}^{b}w''\left(\frac{b-\sigma }{b-a}\right) \phi (\sigma)d\sigma. \]
In this work, we obtain different variants of the Hermite-Hadamard inequality, in the framework of the $(h,m)$-convex modified functions, via generalized operators of the Definitions presented before.
Referencias
[1] J. E. Nápoles Valdés, F. Rabossi, A. D. Samaniego, Convex functions: Ariadne's thread or Charlotte's spiderweb?, Advanced Mathematical Models & Applications Vol.5, No.2, 2020, pp.176-191.
[2] C. Hermite, Sur deux limites d'une intégrale définie, Mathesis 3, 82 (1883).
[3] J. Hadamard, Étude sur les propriétés des fonctions entiéres et en particulier d'une fonction considerée par Riemann, J. Math. Pures Appl. 58, 171-215 (1893).
[4] B. Bayraktar, J. E. Nápoles V., A note on Hermite-Hadamard integral inequality for $(h,m)-$convex modified functions in a generalized framework, submited.
[5] S. Mubeen, G. M. Habibullah, $k$-fractional integrals and applications, Int. J. Contemp. Math. Sci. 7, 89-94 (2012).
[6] A. Akkurt, M. E. Yildirim, H. Yildirim, On some integral inequalities for $(k,h)$-Riemann–Liouville fractional integral, New Trends Math. Sci. 4(1), 138–146 (2016).
[7] F. Jarad, T. Abdeljawad, T. Shah, On the weighted fractional operators of a function with respect to another function, Fractals, Vol. 28, No. 8 (2020) 2040011 (12 pages) DOI: 10.1142/S0218348X20400113
[8] M. Z. Sarikaya, F. Ertugral, On the generalized Hermite-Hadamard inequalities, Annals of the University of Craiova, Mathematics and Computer Science Series Volume 47(1), 2020, Pages 193-213
[9] F. Jarad, E. Ugurlu, T. Abdeljawad, D. Baleanu, On a new class of fractional operators, Adv. Differ. Equ. 2017, 2017, 247.
[10] T. U. Khan, M. A. Khan, Generalized conformable fractional integral operators, J. Comput. Appl. Math. 2019, 346, 378-389.
Miércoles 20 de septiembre, 15:20 ~ 15:40
Politopos aleatorios y razón de volumen
Mariano Merzbacher
Universidad de Buenos Aires, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La \emph{razón de volumen} del par de cuerpos convexos $K$ y $L$ de $\mathbb{R}^n$ se define como $$ \operatorname{vr}(K,L):= \inf \left\{ \left(\frac{|K|}{|T(L)|}\right)^{\frac{1}{n}} : T(L) \mbox{ está contenido en } K \right\}, $$ dónde el ínfimo (en realidad un mínimo) es tomado sobre todas las transformaciones afines $T$. Esta cantidad resulta un invariante afín que permite medir cuán bien puede aproximarse volumétricamente un cuerpo dado por una imagen afín de otro. Definimos la \emph{máxima razón de volumen} de un cuerpo convexo $K \subset \mathbb{R}^n$ como $\operatorname{lvr}(K):= \sup_{L \subset \mathbb{R}^n} \operatorname{vr}(K,L)$, donde el supremo se toma sobre todos los cuerpos convexos $L$. Mostraremos cómo aplicar el método probabilístico y algunas estimaciones de volumen de politopos para probar la siguiente cota que resulta ajustada en general: $c \sqrt{n} \leq \operatorname{lvr}(K),$ para \emph{todo} cuerpo $K$ (donde $c > 0$ es una constante absoluta). Este resultado mejora la cota anteriormente conocida que es del orden de $\sqrt{\frac{n}{\log \log(n)}}.$ Problemas similares pueden plantearse considerando la razón de volumen entre proyecciones o secciones de dos cuerpos convexos. Contaremos algunos resultados recientes que obtuvimos al respecto.
Trabajo en conjunto con: Daniel Galicer (Universidad de Buenos Aires, Argentina), Alexander Litvak (University of Alberta, Canada) y Damián Pinasco (Universidad T. Di Tella, Argentina).
Miércoles 20 de septiembre, 16:00 ~ 16:20
Nuevas desigualdades integrales para funciones diferenciables (h,m)-convexas a través de derivadas generalizadas tipo Caputo
Paulo Matias Guzmán
Universidad Nacional del Nordeste - Facultad de Ciencias Agrarias - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En este trabajo obtenemos nuevas desigualdades integrales del tipo Hermite-Hadamard, utilizando derivadas generalizadas del tipo Caputo. A lo largo del trabajo, vemos que varios resultados reportados en la literatura son casos particulares de los presentados aquí.
En Matemática, la noción de función convexa juega un papel muy destacado, debido a sus múltiples aplicaciones y sus superposiciones teóricas con diversas otras áreas de la ciencia.
Una de las desigualdades más importantes, para funciones convexas, es la conocida desigualdad de Hermite-Hadamard:
\[ \label{Hadamard} \psi \left( \frac { \nu_1+\nu_2 }{ 2 } \right) \leq \frac { 1 }{ \nu_2-\nu_1 } \int _{\nu_1}^{\nu_2}\psi (x)dx\leq \frac { \psi (\nu_1)+\psi (\nu_2) }{ 2 }. \]
Esta desigualdad se cumple para cualquier función $\psi$ convexa en el intervalo $[\nu_1,\nu_2]$. Da una estimación del valor medio de una función convexa.
En [2] se presentaron las siguientes definiciones:
Sea $h:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ una función no negativa, $h\neq 0$ y $\psi :I=[0,+\infty )\to \lbrack 0,+\infty )$. Si la desigualdad \[ \psi \left( \tau \xi +m(1-\tau )\varsigma \right) \leq h^{s}(\tau )\psi (\xi)+m(1-h^{s}(\tau ))\psi \left(\frac{\varsigma}{m} \right) \label{e:hmc1} \] se cumple para todo $\xi ,\varsigma \in I$ y $\tau \in \lbrack 0,1]$, donde $m\in \lbrack 0,1]$, $s\in \lbrack -1, 1]$, entonces la función $\psi $ se llama $(h,m)$-convexa modificada del primer tipo en $I$.
Sea $h:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ una función no negativa, $h\neq 0$ y $\psi :I=[0,+\infty )\rightarrow \lbrack 0,+\infty )$. Si se cumple la desigualdad \[ \psi \left( \tau \xi +m(1-\tau )\varsigma \right) \leq h^{s}(\tau )\psi (\xi)+m(1-h(\tau ))^{s}\psi\left(\frac{\varsigma}{m} \right) \label{e:hmc11} \] para todo $\xi ,\varsigma \in I$ y $\tau \in \lbrack 0,1]$, donde $m\in \lbrack 0,1]$, $s\in \lbrack -1,1]$, entonces la función $\psi$ se llama $(h,m)$-convexa modificada del segundo tipo en $I$.
Los operadores diferenciales que utilizaremos en nuestro trabajo son los siguientes:
Sean $\alpha > 0$, y $\alpha \neq {1, 2, 3, …}$, $n = [\alpha] + 1$, $f \in AC^n[a, b]$, el espacio de funciones que tienen las $n$-ésimas derivadas absolutamente continuas. Las derivadas generalizadas de Caputo del lado derecho y del lado izquierdo de orden $\alpha$ se definen de la siguiente manera:
\[ \left (_{}^{C}D_{\nu_1+}^{w} f \right )(x)=\int_{\nu_1}^{x}w(x-t)f^{(n)}(t)dt, x > \nu_1 \] \[ \left (_{}^{C}D_{\nu_2-}^{w} f \right )(x)=\int_{x}^{\nu_2}w(t-x)f^{(n)}(t)dt, \nu_2 > x. \]
En este trabajo obtenemos diferentes variantes de la desigualdad de Hermite-Hadamard, en el marco de las funciones modificadas $(h,m)$-convexas, mediante operadores generalizados de la Definición última.
Referencias
[1] A. Atangana, D. Baleanu, New fractional derivatives with non-local and non-singular kernel: theory and application to Heat transfer model. Therm. Sci. 20, 763–769 (2016).
[2] B. Bayraktar, J. E. Nápoles V., A note on Hermite-Hadamard integral inequality for (h,m)-convex modified functions in a generalized framework, submited.
[3] A. M. Bruckner, E. Ostrow, Some function classes related to the class of convex functions, Pacific J. Math. 12 (1962), 1203-1215.
[4] M. Caputo, Elasticità e Dissipazione, Bologna: Zanichelli, 1969.
[5] M. Caputo, M. Fabrizio, A new definition of fractional derivative without singular kernel, Prog. Fract. Differ. Appl. 1 (2) (2015) 73–85
[6] R. Díaz, E. Pariguan, On hypergeometric functions and Pochhammer k-symbol. Divulg. Mat. 15(2), 179-192 (2007).
[7] G. Farid, A. Javed, A. U. Rehman, M. I. Qureshi, On Hadamard-type inequalities for differentiable functions via Caputo k-fractional derivatives, Cogent Mathematics (2017), 4: 1355429 https://doi.org/10.1080/23311835.2017.1355429
[8] P. M. Guzmán, J. E. Nápoles V., Y. Gasimov, Integral inequalities within the framework of generalized fractional integrals, Fractional Differential Calculus, Volume 11, Number 1 (2021), 69-84 doi:10.7153/fdc-2021-11-05
Miércoles 20 de septiembre, 16:50 ~ 17:10
Desigualdades con peso para conmutadores de operadores fraccionarios generalizados multilineales
Jorgelina Recchi
INMABB, Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur (UNS)-CONICET, Bahía Blanca, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Estudiamos acotaciones con pesos para conmutadores de orden superior asociados a operadores fraccionarios generalizados que resultan ser una extensión del operador integral fraccionario $I_\alpha^m$ en el contexto multilineal. Las acotaciones son entre un producto de espacios de Lebesgue pesados y ciertos espacios de tipo Lipschitz pesados. Este estudio incluye dos tipos diferentes de conmutadores y condiciones suficientes en los pesos involucrados para garantizar las acotaciones. Daremos el rango óptimo de los parámetros involucrados, que se entiende en el sentido de describir una región fuera de la cual los pesos son triviales. El análisis incluye también ejemplos de pesos que abarcan esta región de optimalidad.
Trabajo en conjunto con: F. Berra (FIQ, Universidad Nacional del Litoral (UNL)-CONICET, Santa Fe) y G. Pradolini (FIQ, Universidad Nacional del Litoral (UNL)-CONICET, Santa Fe).
Referencias
[1] F. Berra, G. Pradolini and J. Recchi. "Some extensions of classes involving pair of weights related to the boundedness of multilinear commutators associated to generalized fractional integral operators", https://arxiv.org/abs/2209.14103.
[2] G. Pradolini, W. Ramos and J. Recchi. "On the optimal numerical parameters related with two weighted estimates for commutators of classical operators and extrapolation results",Collectanea Mathematica, 72 (2) 229--259, 2021
[3] G. Pradolini and J.Recchi. "On optimal parameters involved with two-weighted estimates of commutators of singular and fractional operators with Lipschitz symbols", Czechoslovak Mathematical Journal, 2023.
Miércoles 20 de septiembre, 17:10 ~ 17:30
Enfoque Sparse para la acotación de la Maximal Fraccionaria local con dos pesos.
Juan Manuel Sotto Ríos
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral , Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Para un conjunto $\Omega \subsetneq \mathbb{R}^n$ abierto y no vacío y $\beta \in (0,1)$, consideramos la familia de cubos $\mathcal{F}_\beta=\{Q(x,l): l < \beta\,d(x,\Omega^c)\}$, donde $d$ es la métrica $d_\infty$. En este trabajo estudiamos desigualdades con dos pesos de la Maximal fraccionaria local $M_\beta^\gamma$, con $0 \leq \gamma < 1$, definido para $f \in L^1_{\textrm{loc}}(\Omega)$ como: \[ M_\beta^\gamma f(x) = \sup_{Q \in \mathcal{F}_\beta} |Q|^{\gamma-1}\int_Q |f(y)|dy \hspace{0.1cm} \chi_{_Q}(x) \,, \] para cada $x \in \Omega$. % Para esto, tomamos un par de pesos $(u,v)$ en la clase $A^{\tau, \gamma}_{p,q,\varphi}$, con $ 1 < $ $p \leq q < \infty $, $ \tau \in (0,1) $, definida por la condición: \[ \sup_{Q \in \mathcal{F}_\tau} |Q|^{\gamma+\frac{1}{q}-\frac{1}{p}} \left( \frac{1}{|Q|} \int_Q u \right)^q \left\Vert{v^{-\frac{1}{p}}}\right\Vert_{\varphi,Q} < \infty\,, \] donde en uno de los pesos se considera una norma promedio de Luxemburgo con respecto a una función de Young $\varphi$, cuya conjugada, $\overline{\varphi}$, cumple la condición $B_p$, ver [1]. Con esto, pudimos probar el siguiente \textbf{Teorema.} Sean $ 1 < $ $p \leq q < \infty $, $ 0 < \tau < 1 $ y $ 0 \leq \gamma < 1 $. Para $\varphi$ una función de Young tal que $\overline{\varphi} \in B_p$ consideremos un par de pesos $(u,v) \in A^{\tau, \gamma}_{p,q,\varphi}$. Entonces, para cada $\beta \in (0,\tau)$ se tiene: \[ M_\beta^\gamma : L^p(\Omega,v) \to L^q(\Omega,u)\,. \]
En la demostración del teorema se utiliza una técnica con operadores de tipo Sparse similares a las que aparecen en [1]. Por otro lado, mejora en cierto sentido el resultado análogo para el caso $\gamma = 0$ visto en [2].
Trabajo en conjunto con: Mauricio Ramseyer (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL)) y Oscar Salinas (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL)).
Referencias
[1] David Cruz-Uribe. Two weight inequalities for fractional integral operators and commutators. In {\em Advanced courses of mathematical analysis {VI}}, pages 25--85. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2017.
[2] Mauricio Ramseyer, Oscar Salinas, and Beatriz Viviani. Two-weight norm inequalities for the local maximal function. {\em J. Geom. Anal.}, 27(1):120--141, 2017.
Miércoles 20 de septiembre, 17:30 ~ 17:50
Espacios de Musielak-Orlicz y continuidad del operador integral fraccionaria.
René Morari
Universidad Nacional del Comahue, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En este trabajo, estudiamos el comportamiento del operador integral fraccionaria $I_\alpha$, con $0$ $ < $ $\alpha$ $ < $ $n$ actuando sobre espacios de Musielak-Orlicz, [1]. Estos espacios, denotados por $ L^\Psi(\mathbb{R}^n) $ están definidos como el conjunto de todas las funciones $f$ medibles para las cuales existe $ \lambda > 0 $ tal que \[ \int_{\mathbb{R}^n} \Psi(x,|f(x)|/\lambda)\,dx < \infty\,, \] donde $ \Psi:\mathbb{R}^n \times [0,\infty] \to [0,\infty] $ satisface que $ \Psi(\cdot,t) $ es medible para todo $ t \geq 0$ y para cada $ x \in \mathbb{R}^n $ la función $ \Psi(x,\cdot) $ es convexa, continua por izquierda y cumple que $ \Psi(x,0) = 0 $, $ \lim_{t \to 0^+}\Psi(x,t) = 0 $ y $ \lim_{t \to \infty}\Psi(x,t) = \infty$.
El objetivo de este trabajo es analizar condiciones necesarias y suficientes para que una extensión del operador, $ \tilde{I}_{\alpha} $ sea acotada del espacio $L^{\Psi}(\mathbb{R}^n)$ en espacios adecuados $ \mathcal{L}_{\alpha,\Psi}(\mathbb{R}^n) $, definidos para cada $ f \in L^1_{\textrm{loc}}(\mathbb{R}^n) $ a través de la siguiente desigualdad \[ \sup_{B \subset \mathbb{R}^n} \frac{1}{|B|^{\frac{\alpha}{n}} \Vert \chi_B \Vert_{\Psi^*}} \int_{B}|f(x) - f_B|\,dx < \infty \, , \] donde $ f_B $ es el promedio de $ f $ sobre $ B $. Estos espacios generalizan los vistos en [2]. Con esto, se obtuvo el siguiente resultado.
Dados $0$ $ < $ $\alpha$ $ < $ $n$ y $ \Psi $ como antes con $ \Psi(\cdot,t)\in L^1_{\textrm{loc}}(\mathbb{R}^n) $, son equivalentes
a. El operador $ I_\alpha $ puede ser extendido a un operador $ \tilde{I}_{\alpha} $, lineal y acotado desde $L^{\Psi}(\mathbb{R}^n)$ en $\mathcal{L}_{\alpha,\Psi}(\mathbb{R}^n)$.
b. Existe una constante $C > 0$ tal que para toda bola $B \subset \mathbb{R}^n$ con centro $x_0$ se cumple \[ \left\Vert \frac{\chi_{\mathbb{R}^n-B}}{|x_0-\cdot| ^{n-\alpha+1}} \right\Vert_{\Psi^*} \leq C |B|^{\frac{\alpha}{n}-\frac{1}{n}-1} \Vert \chi_B \Vert_{\Psi^*}\,, \] donde $\Psi^*$ es la función conjugada de $\Psi$.
Trabajo en conjunto con: ALEJANDRA PERINI (UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE) y MAURICIO RAMSEYER (IMAL (UNL-CONICET)).
Referencias
[1] J. Musielak, Orlicz Spaces and Modular Spaces, Springer, Berlin, 1983.
[2] M. Ramseyer, O. Salinas and B. Viviani, Lipschitz type smoothness of the fractional integral on variable exponent spaces, Math. Analysis and Appl., 403 (2013), 95-106.
Miércoles 20 de septiembre, 17:50 ~ 18:10
Un Criterio de Convergencia para Inecuaciones Variacionales Elípticas de Tipo II
Claudia M. Gariboldi
Universidad Nacional de Río Cuarto, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Se considera la siguiente inecuación variacional elíptica [2]: \begin{equation} \text{hallar}\quad u\in K,\quad(Au,v-u)_X+j(v)-j(u) \ge(f,v-u)_X \quad\forall\,v\in K, \end{equation} con $X$ un espacio de Hilbert real, $K\subset X$, $A:X\rightarrow X$, $j:X\rightarrow \mathbb{R}$ y $f\in X$.
Es conocido, que bajo hipótesis adecuadas sobre los datos, la inecuación variacional (1) tiene una única solución.
En la literatura se han obtenido una gran cantidad de resultados de convergencia para la desigualdad (1). Entre ellos, la dependencia continua de la solución con respecto a los datos, la convergencia de la solución en problemas penalizados, la convergencia de las soluciones de esquemas numéricos discretos, la convergencia de la solución de varios problemas perturbados. Además, el concepto de bien planteado (en el sentido de Tykhonov o Levitin-Polyak) para la desigualdad (1) también se basa en la convergencia a la solución $u$. Todos estos ejemplos, junto con varias aplicaciones relevantes en Teoría de Control Óptimo, Física y Mecánica, conducen a la siguiente pregunta: es posible describir la convergencia de una sucesión $\{u_n\}\subset X$ a la solución $u$ de la inecuación variacional (1)?
A los efectos de dar respuesta a esta pregunta, se formula un criterio de convergencia a la solución $u$, es decir, se prueban condiciones necesarias y suficientes sobre una sucesión $\{u_n\}\subset X$, las cuales garantizan la convergencia de $\{u_n\}$ a $u$ en el espacio $X$. Como consecuencia, se da una interpretación de este resultado en el contexto del $\mathcal{T}$-buen-planteo, introducido en [1, 5] y usado en varios papers incluidos [3, 4]. Además, se ilustra el uso de este criterio para recuperar resultados de convergencia conocidos, en el sentido de Tykhonov y Levitin-Polyak. Finalmente, se proporciona una aplicación de estos resultados, al estudio de un problema de transferencia del calor.
Trabajo en conjunto con: Anna Ochal (Jagiellonian University, Poland), Mircea Sofonea (University of Perpignan Via Domitia, France) y Domingo A. Tarzia (Universidad Austral, Argentina).
Referencias
[1] M. Sofonea, Well-posed Nonlinear Problems. A Study of Mathematical Models of Contact, Springer, 2023, to appear.
[2] M. Sofonea and S. Migórski, Variational-Hemivariational Inequalities with Applications, Pure and Applied Mathematics, Chapman and Hall/CRC Press, Boca Raton-London, 2018.
[3] M. Sofonea and D.A. Tarzia, On the Tykhonov well-posedness of an antiplane shear problem, Mediterr. J. Math. 17 (2020), Paper No. 150, 21 pp.
[4] M. Sofonea and D.A. Tarzia, Tykhonov well-posedness of a heat transfer problem with unilateral constraints, Appl. Math. 67 (2022), 167-197.
[5] Y.B. Xiao and M. Sofonea, Tykhonov triples, well-posedness and convergence results, Carphatian J. Math. 37 (2021), 135-143.
Jueves 21 de septiembre, 8:20 ~ 9:00
Derivadas generalizadas en espacios de Hilbert
Fabián Eduardo Levis
Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Las derivadas de diversos tipos han sido ampliamente estudiadas por numerosos autores desde finales del siglo XIX. Este concepto encuentra utilidad en muchas ramas de las matemáticas y en sus aplicaciones. Entre las derivadas, se destaca la derivada de Peano como una de las más conocidas. Peano [5] introdujo esta noción a partir de la aproximación de una función mediante polinomios. Otra derivada destacada es la derivada en el sentido $L^p$, definida por Calderón y Zygmund [1] en el contexto de las ecuaciones diferenciales. Macías y Zó [4] relacionaron el concepto de la derivada en el sentido $L^p$ con el problema de la mejor aproximación local a un punto, centrándose en espacios $L^p$ ponderados.
El problema de encontrar el ``mejor'' algoritmo para aproximar un conjunto de datos, provenientes de los valores de una función y de sus derivadas en puntos muestrales, se explora en la teoría de la Mejor Aproximación Local. Esta teoría investiga el comportamiento asintótico de la mejor aproximación en pequeñas regiones que rodean los puntos de muestra. Chui, Shisha y Smith [2] presentaron y estudiaron formalmente este problema, introduciendo el concepto de mejor aproximación local de una función en un punto de la recta real utilizando polinomios algebraicos generalizados (espacios de Haar) con respecto a la norma uniforme. Los autores proporcionaron condiciones necesarias y suficientes para la existencia de la mejor aproximación local para todas las funciones diferenciables en el sentido usual hasta un cierto orden.
Recientemente, Ferreyra, Levis y Roldán [3] definieron la derivada de Legendre para funciones reales en $L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$. Como consecuencia, proporcionaron una condición necesaria y suficiente para la existencia de la mejor aproximación local en $L^2$ utilizando este nuevo concepto de la derivada de Legendre. Además, demostraron que la mejor aproximación local es un polinomio de Taylor generalizado que involucra las derivadas de Legendre.
El objetivo principal de esta comunicación es mostrar una generalización a los espacios de Hilbert de algunos resultados dados en [3]. Precisamente, introducimos un nuevo concepto de derivadas de campos escalares en espacios de Hilbert, generalizando la noción de derivada en el sentido $L^p$ y de derivada de Legendre para funciones reales en $L^2_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$. Estudiamos sus propiedades y caracterizaciones, y como consecuencia, proporcionamos una condición necesaria y suficiente para la existencia de la mejor aproximación local en espacios de Hilbert empleando estos nuevos conceptos de derivadas. Además, demostramos que la mejor aproximación local puede ser representada por un polinomio de Taylor generalizado que involucra las nuevas derivadas generalizadas.
Trabajo en conjunto con: Federico D. Kovac (Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería, Argentina y Marina. V. Roldán (Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería, Argentina.
Referencias
[1] A. Calderón, A. Zygmund, Local properties of solutions of elliptical partial differential equations, Studia Math, 20 (1961) 171-225.
[2] C.K. Chui, O. Shisha, P.W.Smith, Best local approximation, J. Approx. Theory 15 (4) (1975) 371-381.
[3] D.E. Ferreyra, F.E. Levis, M.V. Roldán, New Approach to Derivatives in $L^2$-Spaces, Numer. Funct. Anal. Optim. 41 (10) (2020) 1272-1285.
[4] R. Macías, F. Zó, Weighted Best Local $L^p$ Approximation, J. Approx. Theory 42 (1984) 181-192.
[5] G. Peano, Sulla formula di Taylor, Atti Accad. Sci. Torino 27 (1891) 40-46.
Jueves 21 de septiembre, 9:00 ~ 9:20
Unicidad de Mejores Aproximantes en Espacios de Orlicz
Juan Costa Ponce
IMASL-UNSL-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $(\Omega, \mathcal{A},\mu)$ un espacio de medida y sea $\mathcal{M}=\mathcal{M}(\Omega,\mathcal{A}, \mu)$ el conjunto de todas las clases $\mu$-equivalentes de funciones $\mathcal{A}$-medibles en un conjunto cerrado y acotado $\Omega\subset\mathbb{R}$.
Sea $\Phi:[0,\infty) \to [0,\infty)$ una función convexa tal que $\Phi(0)=0$, $\Phi(t) > 0$ si $t > 0$.
Adicionalmente, se supondrá que la función $\Phi$ cumple con la condición $\Delta_2$, es decir que exista una constante $K$ tal que para todo $x$ en el dominio de $\Phi$, vale $\Phi(2x)\leq K \Phi(x)$.
Entonces $$L^{\Phi}(\Omega):=\Bigl\{f\in \mathcal{M}:\int_{\Omega} \Phi(|f|)d\mu < \infty \Bigr\}$$ es un espacio de Orlicz.
Dado un conjunto $S\subset L^{\Phi}(\Omega)$, un elemento $s^{\ast}\in S$ es llamado una mejor $\Phi$-aproximación de $f\in L^{\Phi}(\Omega)$ de la clase aproximante $S$, si y s\'olo si
$$\int_{\Omega}\Phi(|f-s^{\ast}|)d\mu=\inf_{s\in S}\int_{\Omega}\Phi(|f-s|)d\mu$$
En [1] se demostró que basta pedir que $\Phi$ sea continua por izquierda y que la clase aproximante $S\subset L^{\infty}(\Omega)$ sea un subespacio de dimensión finita, para que cualquier $f\in L^{\Phi}$ tenga al menos un mejor aproximante $s^{\ast}\in S$.
La unicidad del mejor aproximante es un problema que ha sido extensamente estudiado en [3],[4],[5] y particularmente en [2] se desarrolla un panorama general sobre el estado de la cuestión.
Se plantea un problema geométrico al considerar $\Phi$ convexa pero no estrictamente convexa. Luego se prueba la unicidad para clases aproximantes muy generales y se extienden resultados al espacio $L^{\Phi}$ algunos hechos conocidos en $L^1$ y presentados en [3] y [2].
Finalmente, se discuten algunos interrogantes abiertos.
Trabajo en conjunto con: Dr. Sergio Favier (IMASL-UNSL-CONICET).
Referencias
[1] A. Benavente, S. Favier, F. Levis, Existence and Characterizations of best $\phi$-Approximations by Linear Subspaces, De Gruyter Adv. Pure Appl. Math (2017).
[2] Cheney, E. W., & Wulbert, D. E. (1969). The Existence and Unicity of Best Approximations. MATHEMATICA SCANDINAVICA, 24, 113–140. https://doi.org/10.7146/math.scand.a-10925
[3] J. R. Rice, The Approximation of Functions, vol. I. Addison-Esley Pub. Co. (1964).
[4] L. L. Schumaker, Spline Functions, Basic Theory, Cambridge University Press (2007).
[5] A. Pinkus, On $L^1$ Approximation, Cambridge University Press (1989).
Jueves 21 de septiembre, 9:20 ~ 9:40
Propiedades del Mejor Aproximante Polinomial Extendido
Rosa Alejandra Lorenzo
Departamento de Matemática-Instituto de Matemática Aplicada San Luis (IMASL)-Universidad Nacional de San Luis, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $\Phi$ la clase de todas las $N$-funciones $\varphi:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$ y sea $\Omega$ un subconjunto medible y acotado de $\mathbb{R}^{n}$. Para cada $\varphi\in\Phi$, definimos el espacio de las funciones medibles Lebesgue $f$ definidas sobre $\Omega.$
\[L^{\varphi}(\Omega)=\{ f \mbox{medibles}: \int_{\Omega}\varphi(\lambda|f(x)|)dx < \infty, \mbox{para algún}\;\lambda > 0\},\] donde $dx$ es la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^{n}$. Dada una función $f \in L^{\varphi}(\Omega)$, se define a $\mu_{\varphi}(f)$, como el operador multivaluado de mejores aproximantes por polinomios a la función $f$. Es decir, un polinomio $P\in \mu_{\varphi} (f)$ si y sólo si, se cumple
\[\int_{\Omega}\varphi(|f(x)-P|)dx=\inf_{Q\in\Pi^{m}}\int_{\Omega}\varphi(|f(x)-Q|)dx\],
para todo $Q\in \Pi^{m},$ el espacio de los polinomios algebraicos, definidos sobre $\mathbb{R}^{n}$ de grado a lo sumo $m.$
A partir de la caracterización que se obtiene del operador de mejor aproximación, estudiamos su extensión a $L^{\psi^{+}}(\Omega)$, donde $\psi^{+}$ denota la derivada por derecha de la función $\varphi$.
En este trabajo se obtiene también la unicidad del mejor aproximante extendido si la función derivada por derecha $\psi^{+}$ es estrictamente creciente.
Para finalizar, se demuestra la convergencia puntual de los coeficientes del polinomio extendido a los coeficientes del polinomio de Taylor y se obtienen estimaciones para los coeficientes del operador extendido.
Los resultados mencionados son una extensión de los trabajos de Acinas, Favier y Zó [1] y de Acinas y Favier [2].
Trabajo en conjunto con: Sergio Favier (Instituto de Matemática Aplicada San Luis-Universidad Nacional de San Luis) y Sonia Acinas (Universidad Nacional de La Pampa).
Referencias
[1] S. Acinas, S. Favier, F. Zó. Inequalities for extended best polinomial approximation operator in Orlicz Spaces. Acta Mathematica Sinica, 35: 185-203, 2019.
[2] S. Acinas, S. Favier. Multivalued extended best Phi polinomial approximation operator. Numerical Functional Analysis and Optimization, 37: 1339-1353, 2016.
Jueves 21 de septiembre, 9:40 ~ 10:00
Sucesiones de funciones cíclicas en espacios tipo Dirichlet y polinomios aproximantes óptimos
Alejandra Patricia Aguilera Aguilera
Universidad de Buenos Aires, IMAS-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El problema de caracterizar todas las funciones cíclicas en un espacio de funciones analíticas $\mathcal{H}(\Omega)$ definidas en un subconjunto abierto $\Omega$ del plano complejo $\mathbb{C}$ se refiere a encontrar todas las funciones $f \in \mathcal{H}(\Omega)$ que son vectores cíclicos para el operador de multiplicación por la variable $z$. Este problema fue resuelto para el espacio de Hardy $H^2(\mathbb{D})$ por A. Beurling en 1949, quien probó que una función $f \in H^{2}(\mathbb{D})$ es cíclica si y solo si es exterior. En esta charla, hablaremos sobre una familia de espacios de Hilbert de funciones analíticas llamados espacios tipo Dirichlet en los cuales ha sido estudiado el problema de ciclicidad. Mostraremos algunos resultados que obtuvimos relacionados con la convergencia de sucesiones de funciones cíclicas. Seguidamente hablaremos de la noción de polinomios aproximantes óptimos a través de los cuales es posible dar una definición equivalente de ciclicidad y de alguna manera medir qué tan cerca está una función de ser cíclica. Es este contexto obtuvimos algunas cotas óptimas para la distancia entre los polinomios aproximantes óptimos asociados a una sucesión convergente de funciones y el polinomio aproximante óptimo de su límite.
Trabajo en conjunto con: Daniel Seco (Universidad de La Laguna, España).
Jueves 21 de septiembre, 10:30 ~ 10:50
Aspectos geométricos en espacios de sucesiones de Marcinkiewicz
Silvia Lassalle
Universidad de San Andrés, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Los espacios de sucesiones de Marcinkiewicz $m_{\Psi}^0$ y sus duales $(m_\Psi^0)'$ y $m_\Psi$, son espacios invariantes por reordernamientos, determinados por un símbolo $\Psi$ (una sucesión no decreciente de números reales positivos). Para símbolos apropiados $\Psi$, estos espacios devienen en espacios de Lorentz (sus preduales y duales) $d_*(w,1), d(w,1)$ y $d^*(w,1)$.
El objetivo de esta charla es entender, para un símbolo general, la geometría de la bola unidad de $m_{\Psi}^0,(m_\Psi^0)'$ y $m_\Psi$ a partir de la caracterización de sus puntos extremales (reales y complejos) y de sus puntos expuestos.
Trabajo en conjunto con Chris Boyd (University College Dublin).
Jueves 21 de septiembre, 10:50 ~ 11:10
Desigualdades para el operador extendido de mejor aproximación en espacios de Lorentz
Federico Darío Kovac
Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Las desigualdades que surgen de las mejores aproximaciones polinomiales y sus extensiones han sido estudiadas en numerosos contextos. Estas desigualdades juegan un papel importante en la generalización de las derivadas, así como en la recuperación del polinomio de Taylor como límite de las mejores aproximaciones polinomiales.
Cuenya [2], extendió el operador de mejor aproximación polinomial del espacio $L^p$ al espacio $L^{p-1}$, $p \in (1,\infty)$. Más tarde, Acinas, Favier y Zó [1] estudiaron un problema análogo en los espacios de Orlicz $L^\phi$ generados por funciones de Orlicz $\phi$. Precisamente, los autores extendieron el operador de mejor aproximación polinomial de $L^\phi$ a $L^{\phi'}$, donde $\phi'$ es la derivada de $\phi$. Ferreyra, Gareis y Levis, y Gareis, Kovac y Levis [3,4] estudiaron la existencia y caracterización de la mejor aproximación polinomial en espacios de Orlicz-Lorentz $\Lambda_{w,\phi}$, donde $w$ es una función de peso continua no negativa. Luego extendieron el operador de mejor aproximación polinomial de $\Lambda_{w,\phi}$ a $\Lambda_{w,\phi'}$. Recientemente, Kovac y Levis [5] estudiaron el problema de la existencia de polinomios casi-mejores aproximantes en los espacios de Lebesgue $L^p$.
El objetivo de esta comunicación es mostrar desigualdades para el operador extendido de mejor aproximación polinomial en los espacios de Lorentz. Precisamente, derivamos una desigualdad para polinomios en la bola unidad de $L^\infty$. Como consecuencia, mostramos que el operador extendido de mejor aproximación polinomial está acotado sobre espacios de Lorentz pesados. Finalmente damos algunas aplicaciones. En primer lugar, mostramos la existencia de polinomios casi-mejores aproximantes en los espacios de Lorentz pesados. Luego, damos una aplicación al problema de la mejor aproximación local.
Trabajo en conjunto con: María I. Gareis (Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería, Argentina y Fabián E. Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina.
Referencias
[1] Acinas, S., Favier, S., Zó, F.: Extended Best Polynomial Approximation Operator in Orlicz Spaces. Numer. Funct. Anal. Optim. 36 (7), 817-829 (2015).
[2] Cuenya, H.H.: Extension of the operator of best polynomial approximation in $L^p(B)$. J. Math. Anal. Appl. 376 (2), 565-575 (2011).
[3] Ferreyra, D.E., Levis, F.E., Gareis, M.I.: Extended Best Polynomial Approximation Operator in Orlicz-Lorentz Spaces. Math. Nachr. 295 (7), 1292-1311 (2022).
[4] Gareis, M.I., Kovac, F.D., Levis F.E.: On a Generalization of the Extended Best Polynomial Approximation Operator in Orlicz-Lorentz Spaces. Math. Nachr. Available online 29 May 2023.
[5] Kovac F.D, Levis F.E.: Taylor's inequalities in Orlicz-Sobolev type spaces. Math. Nachr. 296 (3), 1190-1203 (2022).
Jueves 21 de septiembre, 11:10 ~ 11:30
Nuevos conceptos de ortogonalidad para matrices de índice 1
Ruth Paola Moas
Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En [2] Ferreyra y Malik introdujeron una propiedad en el conjunto de matrices de índice 1, llamada core-aditividad: $(A+B)^c=A^c+B^c$, donde $c$ simboliza la inversa core de una matriz [1]. Mediante dicha propiedad se dieron nuevas caracterizaciones del orden parcial core [1] (denotado por $A\le^{c}B$) y sus potencias $A^2\le^{c}B^2$. Entre otras cosas, se estableció que si se asume la core-aditividad de dos matrices $A$ y $B$ de índice 1, entonces $A \le^c B\Longleftrightarrow (B-A) \le^c B$.
Recientemente, en [3], los mismos autores introdujeron un nuevo concepto de ortogonalidad para matrices de índice $1$ llamada core-ortogonalidad: $A\perp_{c} B$ si y solo si $A^{c}B=0$ y $BA^{c}=0$. Este concepto es una versión intermedia entre la clásica ortogonalidad usual para matrices cuadradas ($AB=0$ y $BA=0$) y la $*$-ortogonalidad de matrices rectangulares ($A^*B=0$ y $BA^*=0$). Los autores estudiaron fundamentalmente la interrelación de la core-ortogonalidad y la core-aditividad. Entre otras cosas, probaron que $A\perp_{c} B$ y $AB=0$ implica que $(A+B)^c=A^c+B^c$. Sin embargo, la implicación recíproca se estableció como una conjetura. La misma fue resuelta en [4].
En este trabajo, se introduce una versión lateral de la core-ortogonalidad, a saber, la core-ortogonalidad a izquierda y la core-ortogonalidad a derecha. Mediante dichos conceptos es posible establecer nuevas condiciones necesarias y suficientes para que dos matrices $A$ y $B$ de índice 1, resulten core-aditivas.
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Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C559), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 135/19) y CONICET (PIP 112-201501-00433CO y PIBAA 28720210100658CO).
Trabajo en conjunto con: David E. Ferreyra (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina) y Fabián E. Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina).
Referencias
[1] O.M. Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.
[2] D.E. Ferreyra, S.B. Malik, Some new results on the core partial order, Linear Multilinear Algebra, 70 (18) (2022) 3449-3465.
[3] D.E. Ferreyra, S.B. Malik, Core and strongly core orthogonal matrices, Linear Multilinear Algebra, 70 (20) (2022) 5052-5067.
[4] X. Liu, C. Wang, H. Wang, Further results on strongly core orthogonal matrix, Linear Multilinear Algebra (2022). DOI: 10.1080/03081087.2022.2111544.
Jueves 21 de septiembre, 11:30 ~ 11:50
Nuevas caracterizaciones del orden parcial diamante
Valentina Orquera
Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En el año 1990, Baksalary y Hauke [1] definieron un orden parcial sobre el conjunto de matrices complejas rectangulares que resulta el clásico orden parcial estrella ($\stackrel{*}\le$) sobre el conjunto de isometrías parciales. En [3], los autores retomaron dicho orden parcial en el contexto de anillos abstractos y lo renombraron como orden parcial diamante ($\stackrel{\diamond}\le$). Recientemente, en [2,4] se estudiaron algunas nuevas propiedades y representaciones mediante ciertas descomposiciones matriciales.
En este trabajo se introduce una nueva relación binaria sobre $\mathbb{C}^{m\times n}$. Más precisamente, dadas $A,B\in \mathbb{C}^{m\times n}$, se dice que $A\preceq B$ si $\mathcal{R}(B^*)=\mathcal{R}(A^*)\oplus \mathcal{R}(B^\dagger-A^\dagger)$, donde $\dagger$ simboliza la inversa de Moore-Penrose de una matriz. Se prueba que la relación $\preceq$ es un orden parcial sobre $\mathbb{C}^{m\times n}$. Más aún, dicho orden resulta equivalente al orden parcial $\stackrel{\diamond}\le$.
Por otro lado, es bien conocido que $\stackrel{*}\le$ implica $\stackrel{\diamond}\le$. En este sentido, se presenta una implicación análoga usando el orden parcial estrella a izquierda (resp. a derecha) en lugar de $\stackrel{*}\le$.
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Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C559), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 135/19) y CONICET (PIP 112-201501-00433CO y PIBAA 28720210100658CO).
Trabajo en conjunto con: David E. Ferreyra (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina) y Fabián E. Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina).
Referencias
[1] J.K. Baksalary, J. Hauke, A furher algebraic vesion of Cochran's theorem and matrix partial orderings, Linear Algebra Appl., 127 (1990) 157-169.
[2] D.E. Ferreyra, S.B. Malik, Some new results on the core partial order, Linear Multilinear Algebra, 70 (18) (2022) 3449-3465.
[3] L. Lebtahi, P. Patrício, N. Thome, The diamond partial order in ring, Linear Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) 386-395.
[4] V. Hernández, M. Lattanzi, N. Thome, From projectors to 1MP and MP1 generalized inverses and their induced partial orders, Rev. Real Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A-Mat., 115 (2021) Article 148.
Jueves 21 de septiembre, 15:00 ~ 15:40
Descomposición atómica para el espacio de Hajlasz de funciones con gradiente generalizado en $L^1$.
Ricardo Durán
UBA - CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Dada $f\in L^p(\mathbb R^n)$, $1\le p \le \infty$, consideramos la condición introducida por Hajlasz [1], \[ |f(x)-f(y)|\le (g(x)+g(y)) |x-y| \] con $g\in L^p(\mathbb R^n)$, y llamamos $D(f)$ al conjunto de todas las funciones $g\in L^p(\mathbb R^n)$ que cumplen esta desigualdad. Siguiendo a Hajlasz definimos \[ M^{1,p}=\{f\in L^p(\mathbb R^n)\colon \exists g \in D(f) \} \] el cual es un espacio de Banach con la norma dada por \[ \|f\|_p + \|f\|_{\dot M^{1,p}} \] donde $\|f\|_{\dot M^{1,p}}:=\inf_{g\in D(f)} \|g\|_p$.
Es sabido que para $p > 1$ vale que $M^{1,p}$ coincide con el el espacio de Sobolev clásico $W^{1,p}$. La situación es diferente cuando $p=1$. En este caso se sabe que $M^{1,1}=H^{1,1}$ siendo éste el espacio de Hardy-Sobolev de funciones de $L^1(\mathbb R^n)$ con derivadas primeras en el espacio de Hardy $H^1(\mathbb R^n)$.
El objetivo de esta charla es mostrar que las técnicas introducidas por Macías y Segovia en [2] pueden aplicarse para obtener una descomposición atómica para funciones de $M^{1,1}$. Decimos que una función $a$ es un átomo si tiene soporte contenido en una bola $B$ y es Lipschitz con constante acotada por $1/|B|$. Demostramos que si $f\in M^{1,1}$ existen una sucesión de átomos $a_j$ y una sucesión numérica $\mu_j$ tales que \[ f=\sum_j \mu_j a_j \] con convergencia en $\dot M^{1,1}$ y tal que \[ \sum_j |\mu_j| \le C \|f\|_{\dot M^{1,1}} \] De esta descomposición resultan inmediatamente demostraciones alternativas de la igualdad $M^{1,1}=H^{1,1}$ y de la equivalencia entre $\|f\|_{\dot M^{1,1}}$ y $\|Nf\|_1$ siendo $Nf$ la maximal de Calder\'on.
Referencias
[1] P. Hajlasz, Sobolev spaces on an arbitrary metric space, Potential Anal. 5 (1996), 403-415.
[2] R. A. Mac\'ias and C. Segovia, A decomposition into atoms of distributions on spaces of homogeneous type, Advances in Math. 33 (1977), 271-309.
Jueves 21 de septiembre, 15:40 ~ 16:00
Desigualdades de Poincaré-Sobolev en espacios producto.
Carolina Alejandra Mosquera
Universidad de Buenos Aires e IMAS-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla nos dedicaremos al estudio de desigualdades de Poincaré-Sobolev $(p,q)$ en el contexto de ciertos espacios producto. Presentaremos una condición geométrica que garantiza la obtención de este tipo de desigualdades usando el método de automejora, partiendo de otras de Poincaré $(1,1)$ generalizadas. Entre otros resultados, probaremos que para cada rectángulo $R$ de la forma $R=I_1\times I_2\subset \mathbb{R}^n$ (con $I_1\subset \mathbb{R}^{n_1}$ y $I_2\subset \mathbb{R}^{n_2}$ cubos con lados paralelos a los ejes), tenemos \[ \left(\frac{1}{\omega(R)} \int_R |f-f_R|^{p_{\delta,\omega}^{*}} \, \omega dx\right)^{\frac{1}{p_{\delta,\omega}^{*}}}\le c(1-\delta)^{\frac{1}{p}} [\omega]_{A_{1,\mathcal{R}}}^{\frac{1}{p}} (a_1(R)+a_2(R)), \] donde $\delta\in(0,1),$ $\omega\in A_{1,\mathcal{R}},$ $\frac{1}{p}-\frac{1}{p_{\delta,\omega}^{*}}=\frac{\delta}{n}\frac{1}{1+\log [\omega]_{A_{1,\mathcal{R}}}}$ y $a_i(R)$ son operadores bilineales similares a las seminormas $[u]_{W^{\delta,p}(Q)}.$
Los resultados que se mostrarán en esta charla son en colaboración con E. Cejas (UNLP), C. Pérez (BCAM, España) y E. Rela (UBA).
Jueves 21 de septiembre, 16:00 ~ 16:20
Desigualdades en norma con pesos para operadores de Schrödinger en espacios de Lebesgue variables
Adrián Cabral
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UNNE; IMIT - CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $\mathcal{L}=-\Delta+V$ el operador de Schrödinger con un potencial $V$, el cual es no negativo y satisface una desigualdad reverse-Hölder de orden $q$, con $q > n/2$, donde la dimensión $n\geq3$.
Asociado al potencial $V$ se define la función radio crítico \[ \rho(x)=\sup\bigg\{r > 0:\frac1{r^{n-2}}\int_{B(x,r)}V\ \leq1\bigg\}. \]
Si $p(\cdot)$ es una función exponente, el sustituto de las clases de pesos de Muckenhoupt $A_p$ en este caso, son las clases $A_{p(\cdot)}^{\rho}$ introducidas en [1], formadas por los pesos $w$ tales que para algún $\theta\geq0$ y $C > 0$ se verifica que, \[ \|w\chi_B\|_{p(\cdot)}\|w^{-1}\chi_B\|_{p'(\cdot)}\le C|B|\left(1+\frac{r}{\rho(x)}\right)^\theta, \] para toda bola $B=B(x,r)\subset \mathbb{R}^{n}$.
Para estas clases hemos podido probar que poseen la propiedad de extrapolación de Rubio de Francia.
Esto lo hacemos en un contexto bastante general de modo que puede aplicarse para obtener desigualdades con pesos en espacios de Lebesgue variables para una amplia variedad de operadores asociados al semigrupo de Schrödinger, como ser el operador maximal del semigrupo, funciones de Littlewood-Paley, integrales singulares en este contexto y sus respectivos conmutadores, etc.
Referencias
[1] Cabral, A. Weighted norm inequalities for the maximal functions associated to a critical radius function on variable Lebesgue spaces. J. Math. Anal. Appl., 516 (2022), https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2022.126521.
Jueves 21 de septiembre, 16:50 ~ 17:10
Desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund en espacios de Lebesgue con exponente variable.
Marcos Bonich
IMAS-Universidad de Buenos Aires, CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Dados $1\leq p, q, r \leq \infty$, se dice que la 3-upla $(p,q,r)$ satisface una desigualdad de Marcinkiewicz-Zygmund si existe una constante $C\geq 1$ tal que para cualesquiera espacios de medida $(U,\mu)$ y $(V,\nu)$ y para todo operador lineal acotado $T:L^q(U,\mu)\to L^p(V,\nu)$ se tiene
\[ \left\|\left(\sum_{k=1}^n\left|Tf_k\right|^r\right)^{1/r}\right\|_{L^p(V,\nu)} \leq C\left\|T\right\| \left\|\left(\sum_{k=1}^n\left|f_k\right|^r\right)^{1/r}\right\|_{L^q(U,\mu)}, \]
para toda sucesión $f_1,f_2,\dots,f_n\in L^q(U,\mu)$ y cada $n\in \mathbb{N}$. Este tipo de desigualdades vectoriales comenzaron a estudiarse en los años `30, a partir de trabajos de Bochner, Marcinkiewicz, Paley y Zygmund (ver, por ejemplo, [4]). En esta charla discutiremos la extensión de estas desigualdades al contexto de espacios de Lebesgue con exponente variable, una generalización de los espacios $L^p$ clásicos que ha cobrado gran relevancia en los últimos años debido a sus aplicaciones en distintos campos (ver [2, 3]). Mostraremos que, bajo ciertas condiciones sobre los exponentes $p(\cdot)$ y $q(\cdot)$, podemos caracterizar los valores $1\leq r\leq \infty$ tales que todo operador $T\colon L^{q(\cdot)}(V,\nu)\to L^{p(\cdot)}(U, \mu)$ verifica una desigualdad del tipo Marcinkiewicz-Zygmund. Presentaremos, además, algunas aplicaciones de estas desigualdades vectoriales. Estos resultados forman parte del trabajo [1], en colaboración con Daniel Carando y Martín Mazzitelli.
Trabajo en conjunto con: Daniel Carando (Universidad de Buenos Aires, IMAS (UBA-CONICET)) y Martín Mazzitelli (Instituto Balseiro, CNEA-UNCUYO, CONICET).
Referencias
[1] Bonich M., Carando D. and Mazzitelli M.. Marcinkiewicz-Zygmund inequalities in variable Lebesgue spaces. (enviado para publicación)
[2] Cruz-Uribe D., Fiorenza A.. Variable Lebesgue spaces: Foundations and Harmonic Analysis. Birkhäuser, Spinger, Basel, 2013.
[3] Diening L., Harjulehto P., Peter Hästö P. and Růžička M.. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. Springer. 29-3-2011.
[4] Marcinkiewicz J. and Zygmund A.. Quelques inégalités pour les opérations linéaires. Fund. Math., 32: 113–121, 1939.
Jueves 21 de septiembre, 17:10 ~ 17:30
Generalized porosity and Muckenhoupt weights
Ignacio Javier Gómez Vargas
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral (CONICET - UNL). Santa Fe, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
In [2], the authors give a characterization of those sets $E$ in the euclidean space $\mathbb{R}^n$ for which the nonnegative function $w(x):=\text{dist}(x,E)^{-\alpha}$ belongs to the Muckenhoupt class $A_1(\mathbb{R}^n)$ (see [3]). The necessary geometrical property of these kind of sets is known as (weak) porosity and includes lower dimensional sets as those considered in [1]. Our search intends to extend and compare porosity as a property related to Muckenhoupt classes in more general geometric settings.
Our first approach, based on dyadic analysis, deals with the cases of parabolic metrics that generalize the basic planar case, where the space $\mathbb{R}^2$ is equipped with the translation invariant parabolic metric $d_p(x,y)=\sup\{|x_1-y_1|,\sqrt{|x_2-y_2|}\}$, with $x=(x_1,x_2)$ and $y=(y_1,y_2)$. The space $(\mathbb{R}^2,d_p,m)$, where $m$ is the Lebesgue measure, is $3$-Ahlfors regular. In fact, $m(B_p(x,r))=4r^3$ for every $x\in\mathbb{R}^2$ and every $r > 0$. Our main results so far are, the extension of this notion of porosity to "parabolic porosity" and the proof of the equivalence of the parabolic porosity of $E$ with the $A_1^p(\mathbb{R}^2)$ condition for $\text{dist}_p(\cdot,E)^{-\alpha}$, i.e., $$\frac{1}{4r^3}\int_{B_p(x,r)}\frac{dy}{d_p(y,E)^{-\alpha}}\leq \frac{C}{d_p(x,E)^{-\alpha}},$$
for every $x\in\mathbb{R}^2$, every $r > 0$ and some $C > 0$. We also construct examples of parabolic porous sets that are not euclidean porous sets and conversely. We then extend the above results to more general parabolic metrics in $\mathbb{R}^n$ and finally, for the general setting in metric measure spaces, we are able to prove the following result.
\textbf{Theorem.} Let $(X,d,\mu)$ be a complete metric space with a complete doubling measure and let $E$ be a non empty subset of $X$. We have that if there exists $\alpha > 0$ such that $d(x,E)^{-\alpha}$ belongs to $A_1(X,d,\mu)$, then there exist constants $c,\delta\in(0,1)$ such that for every ball $B$ in $(X,d)$, there exist $x_1,...,x_N\in B$ as well as $r_1,...,r_N > 0$ (for some $N=N(B)\in\mathbb{N}$) satisfying (i) $\gamma(x_j,B) > r_j > 0$; (ii) the balls $B(x_j,r_j)$ are pairwise disjoint; (iii) $r_j\geq\delta\gamma(B)$ and (iv) $\sum_{j=1}^n\mu(B(x_j,r_j))\geq c\mu(B)$, where, for $y\in B$, $\gamma(y,B):=\sup\{r > 0:B(y,r)\subset B\setminus E\}$ and $\gamma(B):=\sup_{y\in B}\gamma(y,B)$.
Let us mention that in the preprint [4], posted on Arxiv Math by the end of June 2023, a generalization of the result obtained in [2] is stated under some "annular decay property" assumption on the considered spaces.
Trabajo en conjunto con: Ivana Gómez (IMAL) y Hugo Aimar (IMAL).
Referencias
[1] Aimar, H.; Carena, M.; Durán, R.; Toschi, M. Powers of distances to lower dimensional sets as Muckenhoupt weights. Acta Math. Hungar.143(2014), no.1, 119–137.
[2] Anderson, Theresa C.; Lehrbäck, Juha; Mudarra, Carlos; Vähäkangas, Antti V. Weakly porous sets and Muckenhoupt $A_p$ distance functions, 2022. URL https://arxiv.org/abs/2209.06284
[3] García-Cuerva, José; Rubio de Francia, José L. Weighted norm inequalities and related topics. North-Holland Math. Stud., 116 Notas Mat., 104 [Mathematical Notes] North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1985. x+604 pp. ISBN:0-444-87804-1
[4] Mudarra, Carlos. Weak porosity on metric measure spaces, 2023. URL https://arxiv.org/abs/2306.11419
Jueves 21 de septiembre, 17:30 ~ 17:50
Pesos $C_{p}$ locales y conjuntos homogéneos localmente
Federico Augusto Campos
IMAL, UNL-CONICET, Santa Fe, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta presentación, consideraremos un espacio métrico $(X,d)$ con la propiedad de homogeneidad débil y un abierto propio $\Omega \subset X$ tal que las bolas contenidas en él son conjuntos conexos. Para cada $\beta \in (0,1)$, se tomará la familia de bolas $\mathcal{F}_{\beta }=\{B(x,r):x\in \Omega ,r \in (0,\beta d(x,\Omega ^{c})]\}$. Además, $\Omega $ estará provisto de una medida de Borel $\mu $ que duplica sobre alguna familia $\mathcal{F} _{\beta }$. Ahora, si $f\in L_{loc}^{1}\left( \Omega \right) $, se define la función maximal $\beta $-local de $f$ con respecto a $\mu $ como $$ \mathcal{M}_{\beta }f\left( x\right) =\sup_{B\in \mathcal{F}_{\beta }:x\in B} \frac{1}{\mu \left( B\right) }\int_{B}|f|d\mu .$$ Se dirá que $w\geq 0$ en c. t. p. de $\Omega $ es un peso $\mathcal{C}_{p}^{\beta }$, con $p \in (0, \infty )$, si existen constantes positivas $C,\theta $ tales que, para cualesquiera $B\in \mathcal{F}_{\beta }$ y $E\subset B$ medible, se tiene $$\int_{E}w\ d\mu \leq C\left( \frac{\mu \left( E\right) }{\mu \left( B\right) }\right) ^{\theta }\int_{\Omega }\left( \mathcal{M}_{\beta }\chi _{B}\right) ^{p}w\ d\mu \ .$$ También, para $f\in L_{loc}^{1}\left( \Omega \right) $, definimos la función maximal sharp $\beta $-local de $f$ con respecto a $\mu $ como $$ \mathcal{M}_{\beta }^{\#}f\left( x\right) =\sup \limits_{B \in \mathcal{F}_{\beta /2}: x \in B }\frac{1}{ \mu \left( B\right) }\int_{B}|f-f_{B}|d\mu +\sup \limits_{B \in \mathcal{F}- \mathcal{F}_{\beta /2}: x \in B }\frac{1}{\mu ( B) }\int_{B }|f|d\mu \ .$$ En reuniones anteriores de la UMA mostramos que, bajo la suposición de que el espacio métrico $\left( X,d\right) $ tiene la propiedad de que para ciertas intersecciones de bolas hay una dilatación de una bola dentro de la intersección que contiene a una de ellas (lo cual $\mathbb{R}^{n}$ lo verifica) y que con la medida $\mu $ hay diferenciación de Lebesgue en $\Omega $, dados $q \in (1, \infty)$, $p \in (1, q) $, $\beta \in ( 0,1) $, existen $\gamma \in (0, \beta )$ y $\gamma ^{\prime } \in (0, \gamma )$ tales que, si $w\in \mathcal{C}_{q}^{\gamma }$, hay una constante $ C$ tal que $$ \int_{\Omega }\left( \mathcal{M}_{\gamma ^{\prime }}f\right) ^{p}w\ d\mu \leq C\int_{\Omega }\left( \mathcal{M}_{\beta }^{\#}f\right) ^{p}w\ d\mu$$ para cualquier $f\in L^{\infty }(\Omega ,\mu )$\ con soporte en una bola de $\mathcal{F}_{\gamma ^{\prime }}$. También se ha mostrado en presentaciones previas que la desigualdad anterior es una condición suficiente para que un peso esté en la clase $\mathcal{C}_{p}^{\beta }$.
Como en [1] y [2], consideramos las siguientes clases de Muckenhoupt locales.
Definición 1: Sea $w\in L_{loc}^{1}(\Omega )$ no-negativo en c. t. p. de $\Omega $ y $p \in (1, \infty )$. Diremos que $w$ es un peso en $A_{p}^{\beta }$ si hay una constante $C$ tal que, para toda $B\in \mathcal{F}_{\beta }$, $$\left( \frac{1}{\mu (B)} \int_{B}w\ d\mu \right) \left( \frac{1}{\mu (B)}\int_{B}w^{\frac{-1}{p-1}% }d\mu \right) ^{p-1} \leq C \ .$$ Para $p=1$, diremos que $w$ es un peso en $A_{1}^{\beta }$ si hay una constante $C$ tal que, para toda $B\in \mathcal{F}_{\beta }$, $$\left( \frac{1}{\mu (B)} \int_{B}w\ d\mu \right) \left( \inf_{x\in B}w\left( x\right) \right) ^{-1}\leq C \ ,$$ donde el ínfimo se toma en c. t. p. de $B$. Para $p=\infty$, se definirá entonces $$A_{\infty }^{\beta }=\bigcup\limits_{ q \in [1, \infty) }A_{q}^{\beta }.$$
Ahora, En [3], dado $A\subset \mathbb{R}$ medible (Lebesgue), se dice que $A$ es homogéneo si hay una constante $\sigma \in (0,1]$ tal que \begin{equation*} |A\cap (x-r,x+r)|\geq \sigma r \ , \end{equation*} para todo $r \in (0, \infty)$ y c. t. p. $x\in A$. En tal artículo se ve que la condición $\mathcal{C}_{p}$ (en $\mathbb{R}$) caracteriza (en un cierto sentido) a los conjuntos homogéneos. Nuestro objetivo será obtener una caracterización análoga para la clase $\mathcal{C}_{p}^{\beta }$. Con este fin damos la siguiente definición.
Definición 2: Sea $A\subset \Omega $. Diremos que $A$ es homogéneo localmente (con respecto a la medida $\mu $) si, dado $ \beta \in (0, 1)$, hay un $\sigma _{\beta }\in (0,1]$ tal que $$\mu \left( A\cap B\left( x,r\right) \right) \geq \sigma _{\beta }\mu \left( B\left( x,r\right) \right) \ ,$$ para c. t. p. $x\in A$ y todo $r\in (0,\beta \rho (x)]$.
Para obtener nuestros resultados, pedimos además que para la medida $\mu $ existan constantes positivas $C$, $\theta $ y $ \theta^{\prime}$ (que pueden depender de $\beta $) tales que, para todos $ t\geq 1$ y $ B\in \mathcal{F}_{\beta /t}$, \begin{equation}\label{ordenDupli} C^{-1} t^{\theta^{ \prime}}\mu ( B) \leq \mu (t B) \leq C t^{\theta} \mu (B) \text{.} \end{equation} Ahora, enunciamos nuestro primer resultado.
Teorema 1: Sean $w\in A_{\infty }^{\beta }$ y $A\subset \Omega $ para el cual hay un $\widetilde{A}\subset A$ tal que $\mu \left( \widetilde{A}\right) =0$ y $A-\widetilde{A}$ es homogéneo localmente con respecto a $\mu $. Entonces, $w\chi _{A}\in \mathcal{C}_{p}^{\beta }$ para todo $p \in (0, \infty)$.
También, por los resultados en [2] podemos deducir que, si $w \in A_{\infty }^{\beta}$ y $ \nu$ es la medida inducida por $w$ con respecto a $\mu$ ($d \nu = w\ d\mu$) entonces $w^{-1} \in A_{\infty }^{\beta}$ con respecto a la medida $\nu$ y existen constantes $C\geq 1$ y $\varepsilon \in (0,1)$ tales que, para cualesquiera $B\in \mathcal{F}_{\beta }$ y $E\subset B$ medible, se tiene $$ \int_{E}w^{-1}\ d\nu \leq C\left( \frac{\nu \left( E\right) }{\nu \left( B\right) }\right) ^{\varepsilon }\int_{B} w^{-1}\ d\nu \ .$$ Así, con esta observación obtendremos el siguiente recíproco parcial del Teorema 1.
Teorema 2: Sean $\beta \in (0,1)$ y $w\in A_{\infty }^{\beta }$. Entonces, hay un $\beta ^{\prime} \in (0, \beta)$ tal que, para todo $\alpha \in (0, \beta ^{\prime}]$, si $\theta _{w}$ y $\theta _{w}^{\prime }$ son exponentes que verifican (\ref{ordenDupli}) sobre $\mathcal{F}_{\alpha }$ con la medida $\nu$ y $w\chi _{A}\in \mathcal{C}_{p}^{\alpha }$ para algún $p \in ( \theta _{w}\left( \theta _{w}^{\prime }\varepsilon \right) ^{-1}, \infty)$, existe un $\widetilde{A}\subset A$ tal que $\mu \left( \widetilde{A}\right) =0$ y $A-\widetilde{A}$ es homogéneo localmente con respecto a $\mu $.
Finalmente, veremos también que cierta condición adicional sobre un peso en $\mathcal{C}_{p}^{\beta }$ implica que esté en $A_{\infty}^{\beta}$.
Trabajo en conjunto con: Oscar Salinas (IMAL, UNL-CONICET, Santa Fe, Argentina) y Beatriz Viviani (IMAL, UNL-CONICET, Santa Fe, Argentina).
Referencias
[1] Harboure, Eleonor, Oscar Salinas, and Beatriz Viviani. Local maximal function and weights in a general setting. Mathematische Annalen 358, 3-4 (2014): 609-628.
[2] Campos, Federico Augusto and Salinas, Oscar Mario and Viviani, Beatriz Eleonora. Characterizations of local $A_{\infty}$ weights and applications to local singular integrals. To appear in in Revista de la Unión Matemática Argentina en Homenaje a Eleonor Harboure, (2023).
[3] Kahanpää, L., and L. Mejlbro. Some new results on the Muckenhoupt conjecture concerning weighted norm inequalities connecting the Hilbert transform with the maximal function. Danmarks Tekniske Hojskole. Matematisk Institut, 1983.
Jueves 21 de septiembre, 17:50 ~ 18:10
Algunas propiedades de los marcos de fusión duales oblicuos aproximados
Jorge Díaz
Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Agrarias, UNNE, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En procesamiento distribuido de datos, surgen problemas en los que se tiene que implementar una combinación de datos locales. Estos problemas dieron origen a los marcos de fusión [1, 2] y sus duales [5, 6]. Hay casos en los que el análisis y la síntesis tienen que realizarse en subespacios diferentes [4, 3]. Los marcos de fusión duales oblicuos introducidos en [7] resultan una herramienta adecuada para dar una solución a estos dos problemas.
En la práctica, no se suele disponer de los marcos de fusión duales oblicuos en forma exacta debido a errores numéricos que surgen en su cómputo. Puede suceder además que sea necesario mejorar las propiedades del único dual que se tiene. Para abordar estas situaciones extendimos a marcos de fusión el concepto de dualidad oblicua aproximada para marcos clásicos introducido en [8]. En este trabajo expondremos algunas características de los marcos de fusión duales oblicuos aproximados, en particular una propiedad importante, que es la de obtener una reconstrucción de datos tan cerca como deseemos.
Trabajo en conjunto con: Sigrid Heineken (IMAS, UBA-CONICET) y Patricia Morillas (IMASL, UNSL-CONICET).
Referencias
[1] P. G. Casazza, G. Kutyniok. Frames of subspaces. Contemp. Math. 345:87-113. (2004)
[2] P. G. Casazza, G. Kutyniok, S. Li. Fusion frames and distributed processing. Appl. Comput. Harmon. Anal. 25:114-132. (2008)
[3] O. Christensen, Y. C. Eldar. Oblique dual frames and shift-invariant spaces, Appl. Comput. Harmon. Anal. 17: 48-68. (2004)
[4] Y.C.Eldar. Sampling with arbitrary sampling and reconstruction spaces and oblique dual frame vectors, J. Fourier Anal. Appl. 9 (1) 77-96. (2003)
[5] S. B. Heineken, P. M. Morillas, A. M. Benavente, M. I. Zakowicz. Dual fusion frames. Arch. Math. 103: 355-365. (2014)
[6] S. B. Heineken, P. M. Morillas. Properties of finite dual fusion frames. Linear Algebra Appl. 453, 1-27. (2014)
[7] S. B. Heineken, P. M. Morillas. Oblique dual fusion frames. Numer. Funct. Anal. Optim. 39, 800-824. (2018)
[8] J. P. Díaz, S. B. Heineken, P. M. Morillas. Approximate oblique dual frames. Appl. Math. Comput. 253, 1 de Septiembre de 2023. En prensa.
Viernes 22 de septiembre, 9:00 ~ 9:20
Problemas de multi-aproximación simultánea
Noelia Belén Rios
CMaLP (UNLP) - IAM (CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla vamos a considerar un problema de multi aproximación dentro del conjunto de matrices semi definidas positivas, que proviene de la teoría de marcos en dimensión finita. Más explícitamente, si $\textbf{d}=(d_1,\ldots, d_m)\in\mathbb{N}^m$, dada una sucesión finita de matrices $\Phi^0=\{F^0_i\}_{i=1}^m$, para $F^0_i\in \mathbb C^{d_i\times n}$ y una sucesión no creciente de números (pesos) positivos $\alpha=(\alpha_i)_{i=1}^n$, lo que buscamos es caracterizar a los mejores aproximantes de $\Phi^0$ dentro del conjunto de los $(\alpha,\textbf{d})$-diseños \[ D(\alpha,\textbf{d}):=\{\Phi=\{F_i\}_{i=1}^m: F_i\in \mathbb C^{d_i\times n}\wedge\sum_{i=1}^m ||f_{ik}||^2=\alpha_k,\; k=1,\ldots n\}\] donde $f_{ik}$ es la $k$-ésima columna de la matriz $F_i$, con respecto a la función \[ \Theta(\Phi)=\sum_{i=1}^m || F_i^0(F_i^0)^*-F_i F_i^* ||_2^2\,. \] Esta función $\Theta:D(\alpha,\textbf{d})\to \mathbb {R}_{\geq 0}$, es lo que se denomina (el cuadrado de) ¨la distancia conjunta al operador de marco¨.
En el caso en que $m=1$, este problema fue planteado por Strawn en 2012 y fue resuelto hace un años, considerando una traducción del mismo, a un problema de diseño de marcos con normas predeterminadas. Lo que vamos a contar en esta charla es como caracterizar espectralmente a los minimizadores locales de esta función, para $m\geq 1$, vía una traducción a un problema de multi-diseño. Veremos además que los minimizadores locales son globales.
Trabajo en conjunto con: María José Benac ( FCEyT UNSE - CONICET) y Mariano Ruiz (CMaLP UNLP - IAM CONICET).
Viernes 22 de septiembre, 9:20 ~ 9:40
Problemas de distancias entre G-marcos
María José Benac
Departamento Académico de Matemática - FCEyT- UNSE, CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Una familia $\mathcal F=\{T_i\}_{i\in I}$ de operadores lineales acotados $T_i: \mathbb{C}^d \to \mathbb{C}^n$ es un G-marco para $\mathbb{C}^d$ si existen constantes $a, b > 0$ tales que \[a \|x\|^2\leq \sum_{i\in I} \|T_i \, x\|^2 \leq b \|x\|^2,\] para cada $x\in \mathbb{C}^d$. Si sólo se verifica la desigualdad superior, decimos que $\mathcal F$ es una sucesión G-Bessel para $\mathbb{C}^d$.
Dada una sucesión G-Bessel $\mathcal F=\{T_i\}_{i\in I}$, su operador de marco $S_{\mathcal F}$ se define como \[S_{\mathcal F}=\sum_{i\in I} T^*_i T_i.\]
Sea $\alpha=(\alpha_i)_{i\in I_m}$ una sucesión finita de pesos positivos ordenada en forma no creciente. Consideramos el conjunto \[\Lambda_{\alpha}=\{\mathcal {F}=\{T_i\}_{i\in I_m}: \mathcal{F}\,\ \text{es una sucesión G-Bessel para}\,\ \mathcal{H},\,\ \text{con}\,\ \|T_i \|^2_2=\alpha_i\},\] donde $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert de dimensión finita.
Sea $A$ un operador semi definido positivo de $\mathcal{H}$. El objetivo de esta charla es calcular
\[\min_{\mathcal{F} \in \Lambda_{\alpha}} \|A- S_{\mathcal{F}}\|^2_2,\] y caracterizar las sucesiones G- Bessel que alcanzan la distancia mínima.
Trabajo en conjunto con: Noelia Belén Rios (Centro de Matemática de La Plata, FCE - UNLP, Argentina - IAM-CONICET, Argentina) y Mariano Ruiz (Centro de Matemática de La Plata, FCE - UNLP, Argentina - IAM-CONICET, Argentina).
Viernes 22 de septiembre, 9:40 ~ 10:00
Truncamiento de Sistemas Shift-Invariantes Generalizados
Pablo Garcia Alvarez
Instituto de Matemática Aplicada San Luis - UNSL - CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En la teoría de marcos, los Sistemas Shift-invariantes Generalizados (Sistemas GSI, por sus siglas en inglés) comprenden, por su estructura, a los marcos de Gabor y los marcos de Wavelets, entre otros. Dicha estructura está formada por traslaciones de infinitas funciones generadoras. En aplicaciones, muchas veces es conveniente que dichas funciones generadoras tengan soporte compacto. En esta comunicación daremos condiciones bajo las cuales un Sistema GSI puede ser aproximado por otro cuyas funciones generadoras tengan soporte compacto en el dominio de la frecuencia. La calidad de la aproximación será medida en términos de la cota de Bessel de la diferencia de los dos sistemas. En particular, esto lleva a condiciones fácilmente verificables para que un sistema de esta forma preserve la propiedad de marco.
Trabajo en conjunto con: Rae Young Kim (Yeungnam University, Republic of Korea) y Ole Christensen (Denmark Technical University, Denmark).
Viernes 22 de septiembre, 14:00 ~ 14:20
Programación cuadrática con una restricción cuadrática en espacios de Hilbert
Francisco Martínez Pería
CMaLP - UNLP e IAM - CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla analizaremos el siguiente problema de problema de programación cuadrática con una restricción cuadrática. Dados operadores $A$ y $B$ actuando en un espacio de Hilbert $(\mathcal{H}, \langle\cdot\, ,\, \cdot\rangle)$, vectores $a,b\in\mathcal{H}$ y una constante $\beta\in\mathbb{R}$, nos interesa determinar la existencia de \[ \min\,\langle Ax\, , \, x\rangle +2{\rm Re} \langle a\, , \, x\rangle \qquad \text{sujeto a} \qquad \langle Bx\, , \, x\rangle +2{\rm Re}\langle b\, , \, x\rangle\leq\beta, \] y en caso de que el mínimo exista, encontrar los argumentos en los cuales se alcanza dicho mínimo. Nos enfocaremos en el caso en que los operadores $A$ y $B$ son indefinidos (es decir, ni definidos positivos ni definidos negativos). Esto impide utilizar las técnicas estándar de optimización, ya que tanto la función objetivo como la región determinada por la restricción no son convexas.
Mostraremos que resolver el problema con la desigualdad es equivalente a resolver el problema con la restricción $\langle Bx\, , \, x\rangle +2{\rm Re}\langle b\, , \, x\rangle=\beta$, y que tanto la existencia de soluciones como la geometría del conjunto de soluciones están intimamente ligados al haz de operadores asociado al problema.
Trabajo en conjunto con: Santiago Gonzalez Zerbo (IAM-CONICET, Argentina) y Alejandra Maestripieri (IAM-CONICET, Argentina).
Viernes 22 de septiembre, 14:20 ~ 14:40
Aspectos geométricos de proyecciones con conmutador fijo.
Micaela Chaile
Instituto Argentino de Matemática “Alberto Calderón” (IAM), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $A$ un operador antihermitiano en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y $Gr(\mathcal{H})$ la variedad de Grassmann de $\mathcal{H}$. Consideremos el conjunto de todos los pares de proyecciones con conmutador $A$, i.e.
\begin{equation*} \mathcal{C}_A = \{ (P,Q) \in Gr(\mathcal{H}) \times Gr(\mathcal{H}) : A=PQ-QP \} \end{equation*}
Los resultados vistos en [2] nos permitirán ver algunos resultados recientes sobre la estructura diferenciable y geometría de este espacio. En la parte genérica, el grupo unitario que actúa sobre $\mathcal{C}_A$ resulta ser un espacio homogeneo reductivo. Esto último nos permite definir una métrica de Finsler cociente. Asimismo, veremos que $\mathcal{C}_A$ posee una estructura de subvariedad del producto cartesiano del espacio de los operadores acotados.
Trabajo en conjunto con: Eduardo Chiumiento (Univresidad Nacional de La Plata - IAM).
Referencias
[1] E. Andruchow, G. Corach, L. Recht, Projections with fixed difference: A Hopf-Rinow theorem, Diff. Geom. Appl. 66 (2019), 155--180.
[2] W. Shi, G. Ji, Anti-self-adjoint operators as commutators of projections, J. Math Anal. Appl. 478 (2019), 539--559.
[3] C. Durán, L. Mata-Lorenzo, L. Recht, Metric geometry in homogeneous spaces of the unitary group of a C∗-algebra. Part I: minimal curves, Adv. Math. 184 (2) (2004) 342–366.
Viernes 22 de septiembre, 14:40 ~ 15:00
Mínimos locales para la distancia a flujos de mayorización
Mariano Ruiz
Centro de Matemática de La Plata - Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de La Plata, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $\mathcal{D}(d)$ el conjunto convexo de matrices de tamaño $d\times d$ de densidad (i.e. definidas positivas de traza uno) y $\rho,\,\sigma\in\mathcal{D}(d)$ tales que $\rho\not\prec \sigma$, donde $\prec$ es el preorden dado por la mayorización espectral.
Consideremos además los conjuntos de flujos de mayorización (descendente y ascendente respectivamente): $\mathcal{L}(\sigma)=\{\mu \in\mathcal{D}(d) \ : \ \mu\prec \sigma\} \text{ y }$ $\mathcal{U}(\rho)=\{\nu\in\mathcal{D}(d) \ : \ \rho\prec \nu\},$ dotados con la métrica inducida por la norma espectral.
En este contexto, y dada una norma unitariamente invariante estrictamente convexa $N(\cdot)$, se estudian los mínimos locales de las funciones de distancia: $\Phi_N(\mu)=N(\rho-\mu)$, con $\mu\in\mathcal{L}(\sigma)$ y $\Psi_N(\nu)=N(\sigma-\nu)$, para $\nu\in\mathcal{U}(\rho)$.
En esta charla, contaremos algunos resultados que caracterizan en forma espectral y geométrica a estos minimizadores locales. En particular, se mostrará que son globales y no dependen de la NUI $N(\cdot)$ elegida. Además, mostraremos cómo estos resultados nos permiten elaborar un algoritmo para construir el espectro de las matrices de densidad aproximantes.
Trabajo en conjunto con: Maria José Benac (FCEyT-Universidad Nacional de Santiago del Estero), Pedro Massey (CMaLP -FCEx-UNLP & Instituto Argentino de Matemática-CONICET) y Noelia Rios (CMaLP -FCEx-UNLP & IAM-CONICET).
Viernes 22 de septiembre, 15:20 ~ 15:40
Teoremas de densidad en grupos LCA con automorfismo expansivo
Rocío Nores
Universidad de Buenos Aires, IMAS-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Los sistemas de Gabor $\mathcal{S}(g,\Lambda):=\{ M_{\gamma}T_x g: (x,\gamma)\in\Lambda\}$ dados por traslaciones y modulaciones de $g$ donde $\Lambda$ no tiene o tiene muy poca estructura surgen naturalmente. Por ejemplo, se sigue de la teoría de coorbitas de Feichtinger y Gröchenig [1,2] que si $g$ pertenece al espacio de modulación $M^1(\mathbb{R})$ entonces $\mathcal{S}(g,\Lambda)$ será una secuencia de Bessel para cualquier conjunto de índices $\Lambda$ "suficientemente denso". Nuestro trabajo se ubica en el contexto de un grupo $G$ abeliano localmente compacto que posee un subgrupo $H$ abierto y compacto y, además, existe un automorfismo $A$ de $G$ que es expansivo con respecto a $H$. Esto es: \[ H\subsetneq AH \] \[\bigcap_{n\leq0}A^nH=\{0\}.\]
Con esta estructura podemos definir en $G$ un análogo a las "bolas" de $\mathbb{R}^n$ y por lo tanto, definir una noción de densidad similar a la conocida densidad de Beurling.
Con todo esto, pudimos probar que si $\varphi\in M^1(G)$, $\varphi\neq0$ y $\Lambda\subseteq G\times\widehat{G}$ es una sucesión con densidad finita, entonces $S(\varphi,\Lambda)$ es una sucesión de Bessel. Esto provee una versión válida en este ambiente del resultado análogo para $\mathbb{R}^n$ probado en [3, Teorema 12]. Por otro lado, también probamos que algunos resultados de densidad que son ciertos en $\mathbb{R}^n$ dejan de serlo en el contexto de grupos con automorfismos expansivos.
Trabajo en conjunto con: Emily King (Colorado State University) y Victoria Paternostro (Universidad de Buenos Aires, IMAS-CONICET).
Referencias
[1] H. Feichtinger and K. Gröchenig, Banach spaces related to integrable groups representatios and their atomic decompositions I, Journal of Functional analysis 86.2 (1989), 307-340.
[2] H. Feichtinger and K. Gröchenig, Banach spaces related to integrable groups representatios and their atomic decompositions part II, Monatshefe für Mathematik 108 (1989), 129-148.
[3] C. Heil, History and evolution of the density theorem for Gabor frames, Journal of Fourier Analysis and Applications 13 (2007), 113-166.
Viernes 22 de septiembre, 15:40 ~ 16:00
Homogeneidad y Principios de Incertidumbre Aditivos y Multiplicativos
Joaquín Toledo
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral- IMAL, CONICET, UNL, CCT CONICET Santa Fe, Colectora Ruta Nac. N 168, Paraje El Pozo, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El Principio de Incertidumbre de la Mecánica Cuántica que, una vez admitida la formulación por medio de la Teoría de Operadores, es un Teorema sobre la Transformada de Fourier, puede formularse para funciones $f$ en $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ en la forma multiplicativa
\begin{equation} \|xf(x)\| \|\xi \widehat{f}(\xi)\| \geq \frac{1}{4\pi} \|f\|^2 , \end{equation} donde $\|.\|$ denota la norma $L^2(\mathbb{R}^n)$. En [3] Cowling y Price demuestran que la forma (1) del principio de incertidumbre es equivalente a la forma aditiva siguiente
\begin{equation} \|xf(x)\|^2 + \|\xi \widehat{f}(\xi)\|^2 \geq \frac{1}{2\pi} \|f\|^2 . \end{equation}
El hecho de que la desigualdad (1) implica la desigualdad (2) es inmediato. Que (2) implica (1) para toda $f \in L^2(\mathbb{R}^n)$, es en cambio más sutil y se basa en propiedades de homogeneidad de la tranformada de Fourier.
Cuando el principio de incertidumbre se explora con el análisis armónico generalizado en contextos geométricos no euclídeos, como los grafos métricos (ver [2]), la ausencia de homogeneidades naturales, impide una prueba de la equivalencia entre los análogos de (1) y (2) en estos contextos generales y la forma aditiva (2) resulta válida aunque en general (1) no pueda probarse.
Un caso particular que se plantea en un contexto continuo pero en el que hay una estructura discreta y un principio de incertidumbre naturales es el de análisis de Fourier generalizado para las wavelets de Haar.
En [1] (ver también [4]) se prueba que para $s \in (0,1)$ existe $c > 0$ tal que para toda $f\in L^2(\mathbb{R}^+)$ con $\|f\|_2=1$ \[\mathcal{E}_s(f)\mathcal{Q}_s(f)\geq c, \qquad \qquad (3)\]
donde
\[\mathcal{Q}_s(f)= \int_{\mathbb{R}^+} \int_{\mathbb{R}^+} \left[ \delta^{2s}(x,y) f(x) f(y)\right] \frac{dxdy}{\delta(x,y)},\]
\[\mathcal{E}_s(f)= \int_{\mathbb{R}^+}\int_{\mathbb{R}^+} \Big|\frac{f(x)- f(y)}{\delta(x,y)^s}\Big|^2 \frac{dx dy}{\delta(x,y)},\]
y $\delta(x,y)$ es la métrica diádica definida en $\mathbb{R}^+$ por \[\delta(x,y)=\inf\{|I|: x,y\in I, I\in \mathcal{D} \},\]
siendo $\mathcal{D}$ la clase de los intervalos diádicos de $\mathbb{R}^+$.
En este trabajo demostramos que una homogeneidad diádica intrínseca al sistema de Haar nos permite probar el resultado siguiente
\textbf{Teorema:} Son equivalentes
(i) $\mathcal{E}_s^2(f) + \mathcal{Q}_s^2(f) \geq c$ para toda $f \in L^2(\mathbb{R}^+) $
(ii) $2 \mathcal{E}_s(f) \mathcal{Q}_s(f) \geq c $ para toda $ f \in L^2(\mathbb{R}^+) $
El Teorema precedente y (3) permiten probar el siguiente resultado.
\textbf{Corolario:} Existe $c > 0$ tal que la desigualdad \[ \int_{\mathbb{R}^+}\int_{\mathbb{R}^+} \Big|\frac{f(x)- f(y)}{\delta(x,y)^s}\Big|^2 \frac{dx dy}{\delta(x,y)} + \int_{\mathbb{R}^+} \int_{\mathbb{R}^+} \left[ \delta^{2s}(x,y) f(x) f(y)\right] \frac{dxdy}{\delta(x,y)} \geq c \] vale para toda $f \in L^2(\mathbb{R}^+) $ con $\|f\|_2=1$.
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (IMAL, CONICET, UNL, CCT CONICET Santa Fe, Argentina) y Ivana Gómez (IMAL, CONICET, UNL, CCT CONICET Santa Fe, Argentina).
Referencias
[1] Hugo Aimar, Pablo Bolcatto, and Ivana Gómez. On fractional uncertainty: a dyadic approach. Applicable Analysis, 100(5):975–991, 2021.
[2] John J. Benedetto and Paul J. Koprowski. Graph theoretic uncertainty principles. In 2015 International Conference on Sampling Theory and Applications (SampTA), pages 357–361, 2015.
[3] Michael G. Cowling and John F. Price. Bandwidth versus time concentration: The Heisenberg–Pauli–Weyl inequality. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 15(1):151–165, 1984.
[4] Joaquín Toledo. Mecánica Cuántica y Wavelets. 2020. Trabajo Final de Licenciatura UNL.\\ https://nube.unl.edu.ar/index.php/s/3qoWxciBcixmxmQ
Viernes 22 de septiembre, 16:00 ~ 16:20
Entrelazado de bases y marcos
Felipe Negreira
UBA, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En un espacio vectorial de dimensión finita dos bases ordenadas se dicen entrelazadas si al intercambiar elementos de una y otra que estén en el mismo lugar según el orden, entonces seguimos obteniendo una base. Este concepto puede extenderse para marcos o bases de Riesz en espacios de HIlbert. En esta charla veremos algunos resultados básicos para el caso finito dimensional y mencionaremos posibles extensiones a ciertos espacios de funciones.
Trabajo en conjunto con: Carlos Cabrelli, Ursula Molter (UBA, Argentina).
Viernes 22 de septiembre, 16:50 ~ 17:10
IFS, subsistemas y conexidad
Mariano Andrés Ferrari
Facultad de Ingeniería, UNPSJB, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Consideremos un sistema de funciones iteradas (IFS) compuesto de similitudes en $\mathbb{R}^{2}$: $I^{1}=\{1,2,\dots,d\}$, $\{\varphi_{i}:i\in I^1\}$, y sea $K$ el conjunto autosemejante asociado: \[ K={\displaystyle \cup_{i\in I^{1}}}\varphi_{i}(K) \,. \] Denotamos por $I^*$ al conjunto de secuencias finitas $\omega_{1}\omega_{2}\omega_{3}\dots\omega_{n}$, $\omega_{j}\in I^{1}$, y sea $I$ el conjunto de sucesiones infinitas. Consideraremos un orden total dado por la longitud, $|\omega| < |\lambda|$, y el orden lexicográfico si $|\omega|=|\lambda|$. Definimos un subsistema $W\subset I$ eliminando las secuencias correspondientes a transformaciones idénticas: \[ W=\{\omega\in I:\varphi_{\omega_1 \omega_2 \dots\omega_n} \neq \varphi_{\lambda_1 \lambda_2 \dots\lambda_m} \, \forall \, \lambda_1 \lambda_2 \dots\lambda_m < \omega_1 \omega_2 \dots\omega_n \} \,. \] Diremos que $W$ es separado, y que $I$ es débilmente separado, si las imágenes $\varphi_{\omega_{1}\dots\omega_{k}}(K)$ no se solapan para secuencias distintas de $W$. Diremos además que $W$ es conexo si existe $T > 0$ tal que dados $\alpha,\beta \in W^*$ existe $|\lambda|\leq T$ tal que $\alpha \lambda \beta \in W^*$.
La dimensión de crecimiento de $I$ se corresponde a la dimensión de similaridad de $W$ y es el único $s$ tal que ${\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}}\bigl(\sum\, r_{\omega_{1}\dots\omega_{k}}^{s}\bigr)^{1/k}=1$. Samebos que si $W$ es separado entonces ${\cal H}^s(K) > 0$ y $s$ es la dimensión de Hausdorff de $K$. Reciprocamente, si $W$ es conexo y ${\cal H}^s(K) > 0$, entonces $W$ es separado.
En esta presentación mostraremos algunos ejemplos de sistemas para los cuales el subsistema $W$ no es conexo. Plantearemos entonces algunas preguntas sobre la existencia de tales subsistemas, sus características, y su relación con la dimensión y la medida de Hausdorff de $K$.
Viernes 22 de septiembre, 17:10 ~ 17:30
Distancia entre espacios métricos de probabilidad y aplicaciones
Carlos Exequiel Arias
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral - IMAL, CONICET, UNL, CCT CONICET Santa Fe, Colectora Ruta Nac. N 168, Paraje El Pozo, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Las nociones fundamentales de distancia entre espacios métricos por una parte, y de distancia entre medidas por otra, están bien desarrolladas y han adquirido una relevancia reciente por los trabajos de Misha Gromov en Geometría y por la teoría del Transporte Óptimo. En este trabajo conjugamos estas ideas para definir conceptos de distancias entre espacios métricos con medidas de probabilidad y aplicarlos al análisis de datos de SUBE en AMBA. En particular consideramos la extensión de dos de los conceptos que Misha Gromov introduce en [4], el enfoque Gromov-Lipschitz y el enfoque Gromov-Hausdorff, combinados con varios de los conceptos de distancia entre medidas probabilísticas, en particular con la de Kantorovich - Rubinstein - Wasserstein (Ver[5]). Antecedentes de estas ideas pueden encontrarse en [2]. Para la aplicación al transporte público registrado por SUBE en AMBA usamos [1] y para las métricas difusivas mencionamos los trabajos pioneros de Coifman y Lafon [3].
Sean $(X,d,\mu)$ e $(Y,\delta,\nu)$ dos espacios métricos con $\mu$ y $\nu$ probabilidades borelianas. Sea $\Lambda=\{f:(X,d)\rightarrow (Y,\delta) \,\, bi-Lipschitz\}$ y, si $\Lambda \neq \emptyset$, para cada $f \in \Lambda$ definimos las medidas probabilísticas $\tilde{\mu}_f=\nu \circ f$ y $\tilde{\nu}_f=\mu \circ f^{-1}$. Sea $\rho_X$ una distancia entre medidas probabilísticas en $X$ y $\rho_Y$ una distancia entre medidas probabilísticas en $Y$. Definimos la distancia de \textbf{Gromov-Lipschitz} con $\rho_X$ y $\rho_Y$ entre $(X,d,\mu)$ e $(Y,\delta,\nu)$ como $$d_{GL}^{\rho_X \rho_Y}((X,d,\mu),(Y,\delta,\nu))=\inf\limits_{f\in \Lambda}\{|\log dil(f)|+|\log dil(f^{-1})|+\rho_X (\mu,\tilde{\mu}_f)+\rho_Y(\nu,\tilde{\nu}_f)\}$$ donde $dil(f)= \sup_{x_1\neq x_2} \frac{\delta(f(x_1),f(x_2))}{d(x_1,x_2)}$ es el coeficiente de dilatación de $f$.
Para el enfoque de \textbf{Gromov-Hausdorff} consideramos la familia $ \mathcal{Z}$ de todos los espacios métricos $(Z,\partial)$ tales que $(X,d)$ e $(Y,\delta)$ están inmersos isométricamente en $(Z,\partial)$. También consideramos las familias $\mathcal{I}(X,Z)$ e $\mathcal{I}(Y,Z)$ de todas estas inmersiones isométricas $\varphi:X\rightarrow Z$ y $\psi:Y\rightarrow Z$ respectivamente. Dadas $\varphi \in \mathcal{I}(X,Z)$ y $\psi\in \mathcal{I}(Y,Z)$ consideramos los respectivos ``push forward'' de $\mu$ y $\nu$ por $\varphi$ y $\psi$ para obtener dos medidas de Borel probabilísticas en $(Z,\partial)$ como $\mu_\varphi=\mu \circ \varphi^{-1}$ y $\nu_\psi=\nu \circ \psi^{-1}$. Entonces como $\mu_\varphi$ y $\nu_\psi$ son medidas de probabilidad en $(Z,\partial)$ podemos calcular, por ejemplo, su distancia de Kantorovich en $(Z,\partial)$ y así definir la distancia de Gromov-Hausdorff entre $(X,d,\mu)$ e $(Y,\delta,\nu)$ como $$d_{GH}^K\left( (X,d,\mu),(Y,\delta,\nu)\right)=\inf_{\substack{(\mathcal{Z},\partial)\in \mathbb{Z}\\ \varphi \in \mathcal{I}(X,\mathcal{Z})\\ \psi\in \mathcal{I}(Y,\mathcal{Z})}} \max\{d_{H,\partial}(\varphi(X),\psi(Y)),d_{K,\partial}(\mu_\varphi,\nu_\psi)\}$$ donde $d_{H,\partial}$ denota la distancia de Hausdorff entre conjuntos de $Z$ y $d_{K,\partial}$ la de Kantorovich (Wasserstein 1) en $(Z,\partial)$.
Para estas dos cantidades $d_{GL}^{\rho_X \rho_Y}$, $d_{GH}^K$, probamos propiedades métricas básicas y las aplicamos al análisis de datos provistos por el sistema SUBE en el AMBA, modelizado por grafos no dirigidos ponderados y con distintos atributos en los vértices, que son casos especiales de espacios métricos con medida probabilística.
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (IMAL, CONICET, UNL, CCT CONICET Santa Fe, Argentina) y Ivana Gómez (IMAL, CONICET, UNL, CCT CONICET Santa Fe, Argentina).
Referencias
[1] M. F. Acosta, H. Aimar, I. Gómez, and F. Morana, ``Diffusive metrics induced by random affinities on graphs. An application to the transport systems related to the COVID-19 setting for Buenos Aires (AMBA)'', Trends Comput. Appl. Math. 23 (2022), no. 4, 783–799.
[2] Hugo Aimar, Marilina Carena, Bibiana Iaffei. ``Discrete approximation of spaces of homogeneous type''. J. Geom. Anal.19(2009), no.1, 1–18.
[3] Ronald R Coifman and Stéphane Lafon, ``Diffusion maps'', Applied and Computational Harmonic Analysis 21 (2006), no. 1, 5–30.
[4] Misha Gromov, ``Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces'', Progress in Mathematics, vol. 152, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, Based on the 1981 French original.
[5] Cédric Villani. ``Optimal transport. Old and new.'' Grundlehren Math. Wiss., 338[Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2009.
Viernes 22 de septiembre, 17:30 ~ 17:50
Dilataciones en Espacios de Besicovitch
MELISA Scotti
IMAS - DM, UBA, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta comunicación, presentaré los resultados de una investigación conjunta llevada a cabo junto con Daniel Carando, Jorge Antezana y Tomás Fernandez Vidal enfocada en sistemas de dilataciones en el contexto del espacio $B^2(\mathbb{R})$ de funciones casi periódicas en el sentido de Besicovitch.
Nuestro estudio se centra en investigar bases y marcos de la forma $$ \Phi=\{\psi_j(n\,\cdot):\ j\in J\ n\in\mathbb{N}\} $$ en subespacios de $B^2(\mathbb{R})$ espécificos que llamamos $\mathcal{L}_{\text{odd}}(\Lambda)$ (con $\Lambda$ un conjunto de frecuencias $\mathbb{Q}$-linealmente independientes). Estos espacios son generados por las funciones $\sin(2\pi i \lambda n (\cdot))$ con $\lambda \in \Lambda$ y $n \in \mathbb{N}$. Nuestro objetivo principal es caracterizar aquellas familias $\Phi$ que forman marcos o bases de Riesz para estos subespacios. Inspirados por la teoría de subespacios invariantes por traslaciones en $L^2(\mathbb{R}^d)$, empleamos una técnica de reducción similar a los métodos de fibras. De manera interesante, surge de forma natural una estructura de holomorfía, la cual desempeña un papel fundamental en la comprensión y análisis de estas las familias de dilataciones.
Trabajo en conjunto con: Daniel Carando (IMAS, UBA-CONICET), Tomás Fernandez Vidal (IMAS, UBA-CONICET) y Jorge Antezana ( (UNLP - CONICET).