Sesión Análisis Numérico y Optimización

Jueves 21 de septiembre

Mañana - Lugar: Anfiteatro N

Tarde - Lugar: Anfiteatro N

Resúmenes

Jueves 21 de septiembre, 8:40 ~ 9:00

Análisis de la convergencia del método VarPro para problemas inversos no lineales separables regularizados

Gabriela Jeronimo

Universidad de Buenos Aires & CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Consideramos problemas inversos de la forma $\mathbf{A}(\mathbf{y})\mathbf{x} = \mathbf{b} = \mathbf{b}_{\rm true} + \epsilon$ con $\mathbf{A}(\mathbf{y}) \mathbf{x}_{\rm true} = \mathbf{b}_{\rm true}$, donde $\mathbf{b}_{\rm true} \in \mathbb{R}^m$ denota un vector desconocido asociado a los datos y $\epsilon \in \mathbb{R}^m$ es un vector desconocido que representa ruido o errores. La matriz $\mathbf{A}(\mathbf{y}) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ con $m\geq n$ es desconocida, pero suponemos que puede parametrizarse en forma no lineal por un vector $\mathbf{y}\in \mathbb{R}^r$ con $r \ll n$. A estos problemas los llamamos problemas inversos no lineales separables. Dado un vector de datos $\mathbf{b}$ y una función matricial $\mathbf{A}(\mathbf{y})$, el objetivo es calcular buenas aproximaciones de $\mathbf{x}$ y de $\mathbf{y}$. Para esto, se busca resolver $ \min_{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \left\|\mathbf{A}(\mathbf{y})\mathbf{x} - \mathbf{b}\right\|_2^2.$

Nos interesamos en problemas ill-posed, para lo cual planteamos una formulación regularizada: \[ \min_{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \|\mathbf{A}(\mathbf{y})\mathbf{x} - \mathbf{b}\|_2^2 + \lambda^2\|\mathbf{x}\|_2^2, \] donde $\lambda > 0$ es un parámetro de regularización. Nos enfocamos en el método de proyección de variables (VarPro) introducido en [1]. La idea fundamental consiste en eliminar la variable $\mathbf{x}$ (resolviendo un problema lineal de cuadrados mínimos para cada $\mathbf{y}$), reemplazar $\mathbf{x}= \mathbf{x} (\mathbf{y})$, y finalmente resolver un problema de minimización $\min_{\mathbf{y}} \| \mathbf{F}(\mathbf{y})\|^2$ sólo en las variables $\mathbf{y}$. Este problema no lineal puede resolverse por el método de Gauss-Newton, lo que requiere calcular el Jacobiano de $\mathbf{F}$. Como esto suele ser muy costoso, se han utilizado distintas aproximaciones de este Jacobiano que mostraron buenos resultados computacionales, entre las que se destacan las propuestas por Kaufman ([2]) y por Ruano, Jones y Flemming ([3]).

En esta comunicación describiremos y analizaremos la convergencia de una nueva generalización del método VarPro aplicable a problemas de gran tamaño. Esta generalización consiste en calcular, para cada $\mathbf{y}$, una aproximación suficientemente buena de la solución $\mathbf{x}=\mathbf{x}(\mathbf{y})$ del problema de minimización correspondiente por medio de un método iterativo. Presentaremos un análisis teórico de la convergencia del método utilizando las aproximaciones de los Jacobianos de [2] y [3] calculadas, a su vez, con soluciones $\mathbf{x}$ aproximadas. Finalmente, comentaremos sobre experimentos numéricos cuyos resultados reflejan nuestro análisis teórico.

Trabajo en conjunto con: Malena I. Español (Arizona State University, Estados Unidos).

Referencias

[1] G.H. Golub, V. Pereyra, The differentiation of pseudo-inverses and nonlinear least squares problems whose variables separate. SIAM J. Numer. Anal. 10 (1973), 413-432.

[2] L. Kaufman, A variable projection method for solving separable nonlinear least squares problems, BIT 15 (1975) 49-57.

[3] A.E.B. Ruano, D.I. Jones, P.J. Fleming, A new formulation of the learning problem of a neural network controller, in Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control, 1991, 865-866.

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Jueves 21 de septiembre, 9:00 ~ 9:20

Programación lineal semi infinita y programación cónica.

Andrea Beatriz Ridolfi

ICAI - Universidad Nacional de Cuyo - CONICET, Facultad de Ciencias Aplicadas a la Industria, Facultad de Ciencias Económicas, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En el ámbito de programación lineal semi–infinita se utilizan, con frecuencia, condiciones sobre la representación algebraica del conjunto factible, llamadas restricciones de calificación (constraint qualifications). Entre ellas son conocidas las condiciones de Farkas-Minkowski, de Slater y localmente Farkas-Minkowski. Estas están definidas por el comportamiento del sistema de restricciones, cuya representación dual es su cono característico. En este trabajo mostramos nuevas caracterizaciones de estas condiciones en términos de las caras expuestas de su cono característico o del cono de referencia. Por otro lado, se obtienen nuevos resultados aplicados a la programación lineal cónica donde se obtienen caracterizaciones de la existencia de soluciones factibles y condiciones que garantizan propiedades geométricas del conjunto factible, tales como la acotación y la dimensionalidad completa. También se desarrollan teoremas de optimalidad y dualidad.

Trabajo en conjunto con: Virginia N. Vera de Serio (Facultad de Ciencias Económicas, Universidad Nacional de Cuyo, Argentina) y Miguel A. Goberna (Universidad de Alicante, España).

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Jueves 21 de septiembre, 9:20 ~ 10:00

Two fixed point iteration methods for computing the matrix square root

Harry Oviedo

Universidad Adolfo Ibáñez, Chile   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

In this talk we consider the problem of computing a square root of a given symmetric positive definite matrix $A$. To deal with this problem, we develop two fixed point schemes, which are obtained by rearranging the nonlinear matrix equation $A - X^{2}=0$ and incorporating a scaling parameter. The proposed iterative methods only require to compute one matrix inversion and at most two matrix multiplications per iteration. The global convergence is established by the Banach contraction theorem under the Thompson metric. Finally, we carry out some numerical experiments in order to illustrate the effectiveness of the proposals.

Trabajo en conjunto con: Hugo Lara (Universidade Federal de Santa Catarina, Brazil) y Oscar Dalmau (Centro de Investigación en Matemáticas A.C., Mexico).

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Jueves 21 de septiembre, 10:30 ~ 10:50

Estimación dinámica de demanda de transporte mediante la solución de un problema binivel en dimensión infinita con solución única

Nicolás Jares

CIEM-CONICET FAMAF-UNC, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Si representamos una red de transporte como un grafo dirigido $G = (N,A)$ y consideramos un horizonte de planificación $T = [t_0, t_f] \subset \mathbb{R}$, podemos suponer que se conoce el volumen de tráfico y expresarlo como un conjunto de funciones $x_0^{(a)}(t) : T \to \mathbb{R}_{\geq 0}$, para cada $a \in A$. Luego podemos llamar $x_0 = (x_0^{(a)})_{a \in A}$ al vector que contiene todas esas funciones.

A partir de esa información, podemos escribir el problema de estimar la demanda dinámica de transporte como un problema binivel de la forma:

\[ \begin{array}{cl} \text{minimizar} & \rVert x_0 - X(h) \lVert_2^2 + \lVert d \rVert_1 \\ ^{ h \in H, d \in D} & \\ \text{sujeto a} & (A(h), h - v)_H \leq 0, \; \forall v \in \Lambda_d \end{array} \]

Aquí $h = (h_r)_{r \in \mathcal{R}}$ es un vector de flujo por rutas, $d = (d_w)_{w \in W}$ es el vector de demandas, y $H$ y $D$ son espacios de Hilbert adecuados. El operador $X: H \to L^2([t_0, t_f])^{|A|}$ devuelve los flujos por arco a partir de los flujos por rutas y el operador $A: H \to H$ es el operador de retraso (el tiempo necesario para recorrer cada ruta). La restricción del problema es una desigualdad variacional con el producto interno usual de $H$, $(\cdot,\cdot)_H$ y el conjunto $\Lambda_d \subset H$ es el conjunto de flujos por ruta factibles, que satisfacen la demanda $d$. Esta desigualdad variacional resuelve el problema del equilibrio dinámico del usuario [1].

Bajo ciertas hipótesis podemos ver que este es un problema binivel simple, que su función objetivo es fuertemente convexa y que se pueden generalizar métodos del estado del arte para problemas binivel de dimensión finita [2] a este problema para obtener un algoritmo que converge a su solución.

Trabajo en conjunto con: Damian Fernandez Ferreyra (CIEM-CONICET FAMAF-UNC) y Lisandro Parente (CIFASIS-CONICET FCEIA-UNR).

Referencias

[1] Daoli Zhu, Patrice Marcotte, On the Existence of Solutions to the Dynamic User Equilibrium Problem, Transportation Science, 2000, 34(4):402-414

[2] Yekini Shehu, Phan Tu Vuong and Alain Zemkoho, An inertial extrapolation method for convex simple bilevel optimization, Optimization Methods and Software, 2021, 36:1, 1-19

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Jueves 21 de septiembre, 10:50 ~ 11:10

Un algoritmo basado en el lagrangiano aumentado no diferenciable inexacto

José Luis Romero

CIEM-CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Se presenta un nuevo algoritmo, basado en el Lagrangiano aumentado no diferenciable inexacto, para resolver problemas de optimización no lineal con restricciones de igualdad. Se realiza un análisis de convergencia global y se lo implementa en un conjunto de problemas test.

Trabajo en conjunto con: Damián Fernández (CIEM-CONICET) y Germán Torres (IMIT-CONICET).

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Jueves 21 de septiembre, 11:10 ~ 11:30

Un método de conjuntos activos para el problema de minimización multiobjetivo con restricciones de caja

María Daniela Sánchez

Centro de Matemática de La Plata, UNLP, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Presentaremos un método para resolver problemas de optimización multiobjetivo con restricciones de caja. La estrategia está inspirada en GENCAN [1], un método de restricciones activas para problemas de optimización escalares con restricciones de caja, en donde el algoritmo combina un método irrestricto, que incluye una nueva búsqueda lineal que tiene como objetivo agregar restricciones al conjunto activo de trabajo en una sola iteración, con la metodología de gradiente proyectado para eliminar restricciones del conjunto de trabajo. Para el caso de optimización multiobjetivo proponemos utilizar el algoritmo general de minimización sin restricciones con búsqueda lineal, definido en [3], que usa backtracking para la minimización en la cara interna y el método de gradiente proyectado definido en [2] para abandonar la cara. Se analiza la convergencia global.

Trabajo en conjunto con: Nadia Fazzio (Centro de Matemática de La Plata, CONICET, UNLP, Argentina) y María Laura Schuverdt (Centro de Matemática de La Plata, CONICET, UNLP, Argentina).

Referencias

[1] E.G. Birgin and J.M.Martínez, A Box-constrained optimization algorithm with negative curvature directions and spectral projected gradients, Topics in Numerical Analysis. Computing Supplementa, 15 (2001), pp. 49-60.

[2] E.H. Fukuda and L.M. Graña Drummond, A survey on multiobjective descent methods. Pesquisa Operacional 34, 585-620, 2014.

[3] M.L.N. Gonc¸ Alves, F.S. Lima and L.F. Prudente , Globally convergent Newton-type methods for multiobjective optimization, Comput. Optim. Appl. 83 (2022), pp. 403–434.

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Jueves 21 de septiembre, 11:30 ~ 11:50

Lagrangiano Aumentado con criterio de parada escalado

María Laura Schuverdt

Centro de Matemática de La Plata, UNLP, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

El método de Lagrangiano Aumentado es una técnica importante y ampliamente utilizada para resolver problemas de optimización con restricciones. En su forma clásica, este método utiliza una sucesión iterativa de subproblemas que son considerablemente más fáciles de resolver que el problema original. Por su definición intrínseca, el análisis de convergencia del método está directamente relacionado con el estudio de las llamadas condiciones de optimalidad sucesivas. En los últimos años se ha dedicado especial atención en definir condiciones de optimalidad sucesivas más débiles.

ALGENCAN es una versión, con salvaguardas, del método de Lagrangiano Aumentado clásico que posee excelentes propiedades teóricas y presenta un comportamiento numérico robusto. Presentaremos una variante escalada del algoritmo ALGENCAN, la correspondiente teoría de la convergencia global y una comparación de la variante escalada versus la no escalada de ALGENCAN.

Trabajo en conjunto con: Roberto Andreani (UNICAMP, Brasil), Gabriel Haeser (USP, Brasil), Leonardo D. Secchin (Universidad Federal de Espíritu Santo, Brasil) y Paulo J. S. Silva (UNICAMP, Brasil).

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Jueves 21 de septiembre, 15:00 ~ 15:20

Algoritmos para coarsening en Espacios de Splines

Silvano Carlos Figueroa

Universidad Nacional del Litoral, Facultad de Ingeniería Química, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Sea $[a,b] \subset \mathbb{R}$ y $\Delta= \{ a= \zeta_1, \zeta_2, \ldots, \zeta_N=b\}$ una partición de $[a,b]$. Sean $n$ y $p$ enteros positivos. Denotamos con $\mathcal{S}$ al espacio de dimensión $n$ de funciones splines polinomiales de grado menor o igual que $p$ definido sobre un vector de nodos $\Xi= \{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n+p+1}\}$ dado por $$\Xi=\{\underbrace{\zeta_1,\dots,\zeta_1,}_{m_1 \text{-veces}}\underbrace{\zeta_2,\dots,\zeta_2,}_{m_2 \text{-veces}}\dots \underbrace{\zeta_{N},\dots,\zeta_{N}}_{m_{N} \text{-veces}}\}.$$ donde $$a= \xi_1= \ldots \xi_{p+1} \leq \xi_{p+2} \leq \ldots \leq \xi_n < \xi_{n+1} = \ldots = \xi_{n+p+1}=b.$$

Dada $s\in \mathcal{S}$ y TOL$ > 0$, se busca un spline $\hat{s} \in \hat{\mathcal{S}}$ tal que

\[ \| s-\hat{s} \| < \textit{TOL} \]

donde $\| \cdot \|$ es una norma en $\mathcal{S}$ y $\hat{\mathcal{S}} \subset \mathcal{S}$. Para ello desarrollamos tres algoritmos, los cuales reciben por entradas el spline $s$ (con su respectivo vector de coeficientes ${\bf c}$), TOL$ > 0$ y $\| \cdot \|_{L^2}$, $\| \cdot\|_{L^\infty}$, $\| \cdot\|_{H^1}$ para cada algoritmo, respectivamente.

La elección de un nodo $\xi_*$ a remover se basa en calcular una serie de indicadores $\{ \varepsilon_j\}$ y luego escoger $j_*$ de tal manera que

\[ \varepsilon_{j_*} = \min_{j}\{ \varepsilon_j\} \]

El cálculo de los indicadores, en cada algoritmo, está fuertemente relacionado con la norma. Por ejemplo, en el caso de $\| \cdot\|_{L^2}$, tenemos que los indicadores se pueden calcular como $$\varepsilon_j= \mathbb{E}_{\Xi,j}(s)= |{\bf r}_{loc}^T {\bf c}_{loc}|$$ donde ${\bf r}_{loc}$ se puede obtener facilmente a partir de unos pocos nodos y ${\bf c}_{loc}$ es un subvector de ${\bf c}$.

Así, cada algoritmo devuelve como salida un vector de nodos $\hat{\Xi}$ con menos nodos y un spline $\hat{s}$ que satisface $\| s-\hat{s} \| < \textit{TOL}$.

Por último se presentan experimentos numéricos en los cuales se analizan diferentes problemas y se observa que la curva de error generada por los algoritmos propuestos se comporta mejor comparada con la de otros algoritmos ya existentes en la bibliografía y que además el gasto computacional de almacenamiento y tiempo es mucho menos costoso.

Trabajo en conjunto con: Eduardo Garau (Universidad Nacional del Litoral, Argentina), Pedro Morin (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).

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Jueves 21 de septiembre, 15:20 ~ 15:40

Método tipo Newton para curvas óptimas

Fabián Marcos Hernán Gutiérrez

Instituto de Matemática Aplicada del Litoral (CONICET-UNL), Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En el artículo [1] los autores presentan un algoritmo numérico para obtener el mínimo de un funcional de forma definido sobre superficies. Para ello se utilizó un método de quasi-newton que involucra derivadas de forma de primer y segundo orden del funcional, obteniendo en cada iteración un sistema lineal en formulación débil, que se discretiza y se resuelve con métodos isogeométricos. De manera análoga, nos propusimos utilizar el mismo método para obtener curvas óptimas. Como prueba inicial consideramos el problema de la curva de menor tiempo de descenso o braquistócrona, utilizando derivadas variacionales y el método de elementos finitos.

Trabajo en conjunto con: Aníbal Chicco Ruiz (Facultad de Ingeniería Química, Universidad Nacional del Litoral).

Referencias

[1] "The Shape derivative of the gaussian curvature'' Aníbal Chicco Ruiz, Pedro Morin, M. Sebastian Pauletti. Revista de la UMA Vol. 59. No.2, 2018, Pages 311 - 337. Published Online May 15, 2018

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Jueves 21 de septiembre, 15:40 ~ 16:00

Discretización de un problema fraccionario usando mallas graduadas

Cecilia Penessi

Universidad Nacional de Rosario - CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Consideramos la aproximación por elementos finitos del problema $(P)$ de contorno para potencias fraccionarias de un operador elíptico \[ \mathcal L^su = f\qquad \mbox{en }\Omega, \quad \quad u=0\qquad\mbox{en }\partial\Omega, \] donde por simplicidad $\Omega$ es el cuadrado unitario $[0,1]^2$, $\mathcal L$ es un operador elíptico de la forma $\mathcal Lv=-\Delta v + c(x)v$, con $c(x)\geq 0$, y $s\in (0,1)$. La dificultad para obtener esquemas eficientes radica en que $\mathcal L^s$ es un operador no local. Para lograr una discretización manejable computacionalmente, utilizamos una estrategia propuesta por Caffarelli y Silvestre [2], quienes mostraron que cualquier potencia fraccionaria del Laplaciano en $\mathbb R^n$ puede realizarse como una aplicación Dirichlet-to-Neumann de una extensión al semiespacio $\mathbb R_+^{n+1}$. El problema extendido se aproxima mediante una diagonalización a partir de una semidiscretización en la variable extendida, resultando en la solución de una sucesión de problemas de reacción--difusión singularmente perturbados.

En la literatura (por ejemplo [1]) se proponen estrategias para resolver adecuadamente estos problemas que requieren del uso de mallas anisotrópicas geométricamente refinadas hacia la frontera de $\Omega$. Sin embargo, para obtener resultados adecuados, las mallas deben ser elegidas dependiendo del parámetro de perturbación singular de cada uno de los problemas obtenidos.

Para la discretización de tales problemas de reacción--difusión, proponemos utilizar elementos finitos sobre mallas graduadas (introducidas en [3]) que se definen independientemente del valor del parámetro de perturbación singular, para las cuales se tienen resultados de aproximación óptimos en la norma de la energía.

Combinando esta técnica con nuevos resultados de superconvergencia para los problemas de reacción--difusión, obtenemos convergencia óptima en el parámetro de discretización para la aproximación del problema $(P)$.

Trabajo en conjunto con: Melani Barrios (Universidad Nacional de Rosario - CONICET) y Ariel L. Lombardi (Universidad Nacional de Rosario - CONICET).

Referencias

[1] Lehel Banjai, Jens M. Melenk, Christoph Schwab. Exponential convergence of hp-fem for spectral fractional diffusion in polygons. Numerische Mathematik, 153(1):1–47, 2023.

[2] Luis Caffarelli, Luis Silvestre. An extension problem related to the fractional laplacian. Communications in partial differential equations, 32(8):1245–1260, 2007.

[3] Ricardo G. Durán, Ariel L. Lombardi. Error estimates on anisotropic Q1 elements for functions in weighted Sobolev spaces. Math. Comput., 74(252):1679–1706, 2005.

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Jueves 21 de septiembre, 16:00 ~ 16:20

Método no lineal para problemas no estacionarios de convección dominante

Itatí Zocola

FIQ - UNL, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Consideramos problemas de convección-reacción-difusión con condición de borde tipo Dirichlet. Es sabido que en los casos de convección dominante, los métodos numéricos usuales no generan soluciones adecuadas, ya que producen oscilaciones pronunciadas que no se corresponden con lo esperado. Con el fin de superar este problema, estudiamos métodos no lineales basados en los limitadores de flujo de Kuzmin.

En esta charla, mostraremos los resultados existentes, tanto numéricos como analíticos, para métodos no lineales en el caso estacionario. A partir de los mismos, introduciremos un método no lineal para el caso no estacionario. Demostraremos que, para una elección particular de limitadores, el problema tiene solución única y la validez del principio máximo discreto.

Trabajo en conjunto con: Pedro Morin (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).

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Jueves 21 de septiembre, 16:50 ~ 17:30

Aproximación por elementos finitos de sistemas de reacción-difusión singularmente perturbados

María Gabriela Armentano

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UBA - IMAS, CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En este trabajo analizamos la aproximación, mediante elementos finitos, de un sistema singularmente perturbado de dos ecuaciones de reacción-difusión en una dimensión:

$$-\epsilon^2 u_1''(x) + a_{11}u_1(x) + a_{12}u_2(x) = f_1(x) \qquad \mbox{en }I=(0,1) $$ $$ -\mu^2 u_2''(x) + a_{21}u_1(x) + a_{22} u_2(x) = f_2(x) \qquad \qquad \quad $$ $$ u_1(0) = u_1(1) = u_2(0) = u_2(1) =0 \qquad \qquad \quad$$ con $\epsilon, \mu \in (0,1)$, y con especial interés en los casos en que $\epsilon$ y $\mu$ poseen distintos órdenes de magnitud.

Para obtener aproximaciones de orden óptimo en normas balanceadas, al aproximar con funciones lineales a trozos, utilizamos mallas graduadas convenientemente acordes a la naturaleza de las capas límites que se presentan. Además de las estimaciones de error mostramos algunos ejemplos numéricos que reflejan la convergencia con orden óptimo del método propuesto.

Trabajo en conjunto con: Ariel Lombardi (Universidad Nacional de Rosario, CONICET, Argentina) y Cecilia Penessi (Universidad Nacional de Rosario, CONICET, Argentina).

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Jueves 21 de septiembre, 17:30 ~ 17:50

Aproximación de problemas singularmente perturbados en polígonos

Ariel Luis Lombardi

Universidad Nacional de Rosario - CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Existe una extensa literatura sobre la aproximación por elementos finitos de problemas de reacción--difusión singularmente perturbados. Para obtener estimaciones teóricas del error de aproximación robustas respecto del parámetro de perturbación singular se requieren ciertas estrategias, siendo una de estas el uso de mallas adaptadas a las capas límites que presenta la solución. En particular, para el caso en que el dominio es un cuadrado, para el que existen estimaciones a priori puntuales muy precisas para la solución exacta, se obtuvieron resultados óptimos usando distintos tipos de mallas entre las que podemos encontrar las mallas de Shishkin, las de Bakhvalov y las graduadas.

Cuando el dominio es un polígono arbitrario, hasta nuestro conocimiento, no existen estimaciones a priori tan precisas para la solución demostradas en la literatura, pero sí es usual asumir cierto comportamiento de la solución que incluye las singularidades producidas por las capas límites ( boundary layers) como así también, las generadas por la presencia de esquinas de ángulos $ > \frac\pi2$ (corner layers) [1, Assumption 5.1]. Asumiendo tal comportamiento, en esta charla examinamos la posibilidad de diseñar mallas graduadas para obtener estimaciones de error robustas para problemas de reacción--difusión. La característica que distingue estas mallas de otras usadas en la literatura, es que para obtener estimaciones en la norma de la energía pueden definirse independientemente del parámetro de perturbación singular. Las singularidades en esquinas se tratan siguiendo las técnicas introducidas en [2, Section 8.4].

Referencias

[1] Thomas Apel. Anisotropic finite elements: Local estimates and applications. Series "Advances in Numerical Mathematics", Teubner, Stuttgart, 1999

[2] Pierre Grisvard. Elliptic problems in nonsmooth domains. Classics in Applied Mathematics 69. SIAM, Philadelphia, 2011

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