Sesión Análisis Numérico y Optimización

Miércoles 18 de septiembre

Resúmenes

Miércoles 18 de septiembre, 14:30 ~ 14:50

Convergencia en Problemas Discretos de Control Óptimo Distribuido para la Ecuación de Helmholtz

Paulo Alejandro Pascal

Universidad Autónoma de Entre Ríos, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Se considera un dominio acotado $\Omega$ en $\mathbb{R}^n$ cuya frontera regular $\Gamma $ consiste de la unión de dos porciones disjuntas $\Gamma_{i}$, $i=1$, $2$, con $med(\Gamma_{i}) \gt 0$. Se consideran los siguientes problemas elípticos [3]: $$ -\Delta u=g\,\ \text{ en }\Omega \ \ \,\,\,\,\,\,u|_{\Gamma _{1}}=b\,\,\,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n}|_{\Gamma _{2}}=q $$ $$ -\Delta u=g\,\ \text{ en }\Omega \ \ \,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n% }|_{\Gamma _{1}}=\alpha (u-b)\,\,\,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n}|_{\Gamma _{2}}=q $$ $$ -\Delta u+\lambda u=g\,\ \text{ en }\Omega \ \ \,\,\,\,\,\,u|_{\Gamma _{1}}=b\,\,\,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n}|_{\Gamma _{2}}=q $$ $$ -\Delta u+\lambda u=g\,\ \text{ en }\Omega \ \ \,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n% }|_{\Gamma _{1}}=\alpha (u-b)\,\,\,\,\,\,\,\,-\frac{\partial u}{\partial n}|_{\Gamma _{2}}=q $$ donde $u$ es la temperatura en $\Omega$, $g$ es la energía interna en $\Omega $, $b$ es la temperatura sobre $\Gamma_{1}$ para (1) y (3) y la temperatura en un entorno externo de $\Gamma_{1}$ para (2) y (4), $q$ es el flujo de calor en $\Gamma_{2}$, $\lambda \gt 0$ y $\alpha \gt 0$ es el coeficiente de transferencia de calor en $\Gamma_{1}$, que satisfacen: $g\in L^2(\Omega)$, $q\in L^2(\Gamma_2)$ y $b=cte$.

En relación a estos problemas y siguiendo [3, 4], se formulan problemas de control óptimo distribuido sobre $g$, denotados por $C$ para (1), $C_{\alpha}$ para (2), $C^{\lambda}$ para (3) y $C_{\alpha}^{\lambda}$ para (4). Vinculados a ellos y siguiendo [1, 2], se formulan aproximaciones discretas por el método de los elementos finitos con triángulos de Lagrange de tipo 1, con parámetro de discretización $h$, denotados por $C_h$, $C_{h\alpha}$, $C^{\lambda}_h$ y $C_{h\alpha}^{\lambda}$, respectivamente. Se obtienen resultados de existencia y unicidad de las soluciones óptimas para los problemas discretos, se dan las correspondientes condiciones de optimalidad y se estudia el comportamiento asintótico de las controles óptimos, estados del sistema y estados adjuntos cuando el parámetro $\lambda$ tiende a cero, el coeficiente de transferencia de calor $\alpha$ tiende a infinito y el parámetro de discretización $h$ tiende a cero, simultáneamente.

Trabajo en conjunto con: Claudia M. Gariboldi (Universidad Nacional de Río Cuarto, Argentina) y Domingo A. Tarzia (Universidad Austral, Argentina).

Referencias

[1] C.M. Bollo, C.M. Gariboldi, D.A. Tarzia, Numerical analysis of a family of simultaneous distributed-boundary mixed elliptic optimal control problems and their asymptotic behaviour through a commutative diagram and error estimates. Nonlinear Analysis: Real World Applications. 72 (2023), Article 103842.

[2] S.C. Brenner, L.R. Scott, The Mathematical theory of finite element methods. Springer, New York (2008).

[3] C.M Gariboldi, A.V. Maero, D.A. Tarzia, Doble convergencia en problemas de control óptimo simultáneos para la ecuación de Helmholtz. MACI, 9 (2023). 101-104.

[4] C.M Gariboldi, D.A. Tarzia, Convergence of distributed optimal controls on the internal energy in mixed elliptic problems when the heat transfer coefficient goes to infinity, Applied Mathematics and Optimization, 47 (2003), 213-230.

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Miércoles 18 de septiembre, 14:50 ~ 15:10

Operadores de eliminación de nodos para splines mediante Mínimos Cuadrados Locales

Silvano Carlos Figueroa

Universidad Nacional del Litoral, Facultad de Ingeniería Química, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Se proponen operadores de eliminación de nodos en splines generados a partir una técnica de mínimos cuadrados locales [1]. Estos operadores se basan en la construcción de inversas a izquierda de la matriz de inserción de nodos. Analizaremos por un lado la matriz de inserción de un solo nodo; y por otro lado, matrices de inserción de nodos de manera uniforme. Exploraremos propiedades de los operadores propuestos, tales como el patrón de esparcidad, preservación de soportes compactos, entre otras.

Trabajo en conjunto con: Eduardo Garau (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).

Referencias

[1] G.H. Golub, Richard H. Bartels, Faramarz F. Samavati, Some Observations on Local Least Squares, BIT Numerical Mathematics 2003, Vol. 43, No. 1, pp.001–018

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Miércoles 18 de septiembre, 15:10 ~ 15:30

Aproximación numérica para el flujo por curvatura media de superficies con borde.

Bárbara Solange Ivaniszyn

Universidad Nacional del Litoral , CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Desde la perspectiva del enfoque paramétrico, se han desarrollado diversos métodos numéricos para aproximar la evolución de una superficie bajo el flujo de curvatura media. El primer método, propuesto por Dziuk en 1990, empleaba elementos finitos evolutivos, pero sin estimaciones del error. No fue sino hasta tres décadas después que el grupo de Kovács, Li y Lubich formuló el primer método numérico evolutivo convergente para superficies sin borde. Sin embargo, hasta la fecha, no se han obtenido estimaciones del error para esquemas numéricos considerando superficies con borde.

En esta charla, presentaremos un método numérico evolutivo para el flujo de curvatura media en superficies con borde, también desde el enfoque paramétrico. Nos centraremos en el caso de condiciones de borde Dirichlet, para el cual hemos logrado obtener estimaciones de error de orden óptimo, tanto para la semi-discretización espacial como para la discretización temporal.

Trabajo en conjunto con: Pedro Morin (Universidad Nacional del Litoral, CONICET, Argentina) y Sebastián Pauletti (Universidad Nacional del Litoral, CONICET, Argentina).

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Miércoles 18 de septiembre, 15:30 ~ 15:50

Estabilización de problemas de convección dominante mediante burbujas extendidas.

Itatí Zocola

FIQ-UNL, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En la década de 1990, Brezzi et al. propusieron un método basado en burbujas libres de residuo para la estabilización de problemas de convección-difusión con convección dominante. En el mismo, se define una burbuja en cada elemento de la partición. Proponemos un nuevo método que añade burbujas con dominio en dos elementos adyacentes.

En esta charla, discutiremos las ventajas y desventajas de la nueva propuesta, su implementación utilizando recursividad en el cálculo de las burbujas y presentaremos algunos experimentos numéricos que ilustran el desempeño del método.

Trabajo en conjunto con: Pedro Morin (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).

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Miércoles 18 de septiembre, 16:20 ~ 16:40

Estimaciones de error a posteriori para la aproximación $hp$ de elementos finitos de un problema de vibraciones fluido-estructura en dominios curvos

María Gabriela Armentano

Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, IMAS - CONICET, Buenos Aires, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En este trabajo introducimos y analizamos la aproximación por el método $hp$ de elementos finitos de los modos de vibración de un sistema compuesto por un conjunto de tubos inmersos en un fluido contenido en una cavidad rígida, representando fehacientemente el dominio curvo utilizando triángulos curvos [4]. Este problema se presenta en el marco de la ingeniería nuclear ya que algunos diseños de las barras combustibles de los reactores nucleares de potencia, consisten en un arreglo de barras cilíndricas, los elementos combustibles, dispuestos en forma de coronas concéntricas, y que van alojados dentro de un tubo cilíndrico [3].

El problema puede plantearse en términos de la presión del fluido y en un marco bidimensional (específicamente una sección transversal plana curvada de la cavidad cilíndrica) [2]. Concretamente, sea $\Omega\subset R^2$ el dominio ocupado por el fluido, con borde exterior suave a trozos $\Gamma_0$ y sean $\Gamma_j$, $j=1,\dots,K$, las interfaces entre cada uno de los $K$ tubos y el fluido. Notamos con $n$ la normal unitaria exterior al borde de $\Omega$. El problema consiste en hallar $\omega$ y $\textrm{p}$ tal que:

$$ -\Delta \textrm{p}=\frac{\omega^2}{c^2} \textrm{p} \qquad\mbox{en }\Omega,$$ $$ \frac{\partial \textrm{p}}{\partial n}=0 \qquad \quad\mbox{en }\Gamma_0, $$ $$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{\partial \textrm{p}}{\partial n}= \frac{ \rho_0 \omega^2}{k_j - m_j \omega^2 } \left( \int_{\Gamma_j} \textrm{p} n \right) \cdot n \quad\mbox{ en } \,\Gamma_j \quad j=1,\dots,K. $$ donde $\rho_0$ representa la densidad del fluido, $c$ la velocidad del sonido en el fluido, mientras que $k_j$ y $m_j$ representan respectivamente la rigidez y la masa del $j-$ésimo tubo.

Si bien el problema de autovalores resultante no es estándar, puede reformularse de forma tal que, bajo apropiadas condiciones sobre el dominio curvo, podamos garantizar la convergencia del método y obtener estimaciones a priori del error tanto para las autofunciones como para los autovalores. Definimos un estimador a posteriori del error de tipo residual y estudiamos su eficiencia y confiabilidad. Analizamos en detalle el caso simétrico y proponemos una forma de resolverlo que nos permite simplificar el problema de autovalores y resolver de forma más eficiente el caso de autovalores múltiples. A su vez presentamos un algoritmo $hp$ adaptativo (ver, por ejemplo, [1]) que permite, basándose en el estimador a posteriori del error y en un predictor del error, decidir en forma automática si en cada elemento de la triangulación hacer refinamiento $h$ (i.e, refinar la malla) o refinamiento $p$ (i.e., aumentar el orden del polinomio aproximante). Finalmente mostramos algunos ejemplos numéricos que nos permiten visualizar la buena performance del método propuesto.

Trabajo en conjunto con: Claudio Padra (Departamento de Mecánica Computacional, Centro Atómico Bariloche - CONICET, 4800, Bariloche, Argentina) y Mario Scheble (Departamento de Mecánica Computacional, Centro Atómico Bariloche, 4800, Bariloche, Argentina).

Referencias

[1] M. G. Armentano, C. Padra, R. Rodriguez and M. Scheble, {\it An hp finite element adaptive scheme to solve the Laplace model for fluid-solid vibrations},Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 200 (1-4), pp. 178-188 (2011).

[2] C. Conca, J. Planchard and M. Vanninathan, {\it Fluids and periodic structures}, {Research in Applied Mathematics}, vol. 38 (1995).

[3] J. M. Piracés, {\it Modelado de las vibraciones de un arreglo de tubos elásticamente montados inmersos en un fluido compresible utilizando adaptividad hp}, tesis de maestría, Instituto Balseiro, Universidad Nacional de Cuyo, Comisión Nacional de Energía Atómica, (2011).

[4] M. Zlamal, {\it Curved elements in the finite element method I}, SIAM J. Numer. Anal. vol. 10(1), pp. 229-240 (1973).

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Miércoles 18 de septiembre, 16:40 ~ 17:00

Propiedades geométricas y topológicas de celdas de Voronoi de orden superior

Micaela Araceli Virga

Facultad de Ciencias Económicas, Universidad Nacional de Cuyo - CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

En este trabajo estudiamos celdas generalizadas de Voronoi en el espacio Euclídeo, en particular, celdas de orden superior. Dado un conjunto arbitrario de puntos T y un subconjunto propio no vacío S, definimos la celda de Voronoi de S respecto a T como el conjunto de puntos del espacio euclídeo que se encuentran más cerca de los elementos de S que del resto de los elementos de T. Ya que esta celda se puede representar como el conjunto factible de un sistema de desigualdades lineales, podemos aplicar herramientas y teoría de la programación lineal para obtener propiedades geométricas y topológicas de esta celda en función de la geometría del conjunto T. En especial, presentamos condiciones suficientes para garantizar que la celda sea de dimensión completa, propiedad requerida en el área de la geometría computacional basada en diagramas de Voronoi.

Trabajo en conjunto con: Andrea B. Ridolfi (ICAI - Facultad de Ciencias Aplicadas a la Industria, Universidad Nacional de Cuyo).

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Miércoles 18 de septiembre, 17:00 ~ 17:20

Aproximación por elementos finitos del problema de Navier-Stokes estacionario con dato de borde no suave

Mauricio Mendiluce

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UBA - IMAS, CONICET, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Sea $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ un dominio acotado con borde Lipschitz, consideramos las ecuaciones estacionarias de Navier-Stokes dadas por:

$$-\nu\Delta\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}+\nabla p \ = \ \mathbf{f} \quad \Omega$$ $$\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \nabla\cdot\mathbf{u} \ = \ 0 \quad \Omega \qquad \qquad (1)$$ $$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathbf{u} \ =\ \mathbf{g} \quad \partial\Omega$$

donde $\nu \gt 0$ es la viscosidad del fluido y $\mathbf{f}$ y $\mathbf{g}$ son funciones dadas. Es sabido que si consideramos $\mathbf{f}\in\mathbf{H}^{-1}(\Omega)$ y $\mathbf{g}\in\mathbf{H}^{1/2}(\partial\Omega)$, con $\int_{\partial \Omega} \mathbf{g} \cdot \mathbf{n}=0$, la teoría clásica [5] nos asegura existencia de solución $(\mathbf{u}, p)\in \mathbf{H}^1(\Omega)\times L^2_0(\Omega)$. En este trabajo analizaremos la aproximación por elementos finitos de las ecuaciones estacionarias de Navier-Stokes con condición de Dirichlet no suave, i.e., $\mathbf{g}\in L^2(\partial\Omega)$, extendiendo así los resultados obtenidos en [1] para el problema de Stokes. La no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes introduce una dificultad adicional, la cual impide generalizar directamente esos resultados.

En [4] se demuestra la existencia de solución para el problema de Navier-Stokes con dato de borde $\mathbf{g}\in L^2(\partial\Omega)$ bajo el concepto de \textit{``very weak solution''}. Por otra parte, consideramos el problema (1) pero con un dato $\mathbf{g}_\varepsilon \in\mathbf{H}^{1/2}(\partial\Omega) $ que aproxime a $\mathbf{g}$ en norma $\mathbf{L}^2(\partial\Omega)$. Para obtener nuestras estimaciones, descomponemos la solución de (1) como suma de dos funciones, una no regular (que resuelve un problema de Navier-Stokes con dato de frontera igual a la diferencia entre $\mathbf{g}$ y su aproximante $\mathbf{g}_\varepsilon$) y otra regular que resuelve un problema similar al de Navier-Stokes (con términos adicionales consecuencia de la no linealidad del problema). Esta descomposición nos permite medir el error de aproximación, en alguna norma apropiada, entre la solución del problema (1) y la solución del mismo problema pero con dato de Dirichlet $\mathbf{g}_\varepsilon$.

Resolvemos el problema discreto asociado al problema (1) con dato regular utilizando distintos métodos de elementos finitos estables [2,3] y probamos estimaciones a priori del error de aproximación. Estos resultados permiten concluir la convergencia del método propuesto con un orden que depende de la aproximación de los datos de frontera. Finalmente, presentamos algunas pruebas numéricas de la resolución del denominado \textit{``cavity flow problem''}, el cual es considerado un clásico \textit{benchmark} para este tipo de problemas.

Trabajo en conjunto con: María Gabriela Armentano (Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UBA - IMAS, CONICET, Argentina).

Referencias

[1] R. Durán, L. Gastaldi, and A. Lombardi. Analysis of finite element approximations of stokes equations with nonsmooth data. SIAM J. Numer. Anal., 58(6):3309–3331, 2020.

[2] M. D. Gunzburger and J. S. Peterson. On conforming finite element methods for the inhomogeneous stationary navier-stokes equations. Numerische Mathematik,.(42):173–194, 1983.

[3] K. Wang. Iterative schemes for the non-homogeneous navier-stokes equations based on the finite element approximation. Computers and Mathematics with Applications, 71(1):120–132, 2016.

[4] E. Marusic Paloka. Solvability of the navier–stokes system with L2 boundary data. Appl Math Optim,.(41):365–375, 2000.

[5] R. Temam. Navier-Stokes equations theory and numerical analysis. North-Holland Publishing Company, 1977.

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