Sesión Análisis Numérico y Optimización
Resúmenes
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Aproximación numérica del $p$-Laplaciano fraccionario mediante elementos finitos
José Camilo Rueda
Universidad de la República, Uruguay - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Esta charla mostraremos un acercamiento numérico del operador $p$-Laplaciano fraccionario, que surge en la interpolación compleja de espacios de Sobolev [1]. En términos generales, el problema se formula del siguiente modo: dado un dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ y $p \in (1, \infty)$, buscamos encontrar una función $u \in V$ tal que: \[ \begin{aligned} -\Delta^{s}_{p} u &= f \quad &\text{en } \Omega, \\ u &= 0 \quad &\text{en } \Omega^{c}, \end{aligned} \] donde $\Delta^{s}_{p} u := \operatorname{div}_{s}\left(|\nabla^{s} u|^{p-2} \nabla^{s} u\right)$. Cuando $p=2$, este operador coincide con el Laplaciano fraccionario usual; sin embargo, para $p \neq 2$, difiere del $(p,s)$-Laplaciano obtenido mediante interpolación real entre espacios de Sobolev. Presentamos un método de descomposición-coordenada, basados en Savaré [2], que utiliza una formulación de Lagrangiano aumentado para calcular las soluciones y sus gradientes fraccionarios. Adicionalmente, mostraremos un análisis de la convergencia del método y su implementación numérica.
Trabajo en conjunto con: Juan Pablo Borthagaray (Universidad de la República, Uruguay) y Leandro Del Pezzo (Universidad de la República, Uruguay).
Referencias
[1] Shieh, T. T., & Spector, D. E. (2015). On a new class of fractional partial differential equations. Advances in Calculus of Variations, 8(4), 321-336.
[2] Glowinski, R., & Marroco, A. (1975). Sur l'approximation, par éléments finis d'ordre un, et la résolution, par pénalisation-dualité d'une classe de problèmes de Dirichlet non linéaires. Revue française d'automatique, informatique, recherche opérationnelle. Analyse numérique, 9(R2), 41-76.
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Solución numérica del problema de autovalores de Steklov usando el método Híbrido de Alto Orden (HHO)
Rommel Bustinza
Universidad de Concepción, Chile - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla, discutimos la aproximación del espectro del problema de autovalores de Steklov, aplicando el método Híbrido de Alto Orden (HHO en inglés). Para esto, se adaptan las ideas descritas en un trabajo previo para aproximar el problema espectral clásico. Como es de esperar en esta estrategia, también es posible eliminar las incógnitas volumétricas, introduciendo un operador discreto adecuado. De esta manera, el trabajo consiste en resolver el problema de autovalores matricial (generalizado), definido en el esqueleto de la malla, reduciendo así el costo computacional. Esto lo hace competitivo con esquemas de elementos finitos conformes. El análisis de error a priori nos permite obtener tasas de convergencia óptimas para los valores propios y las funciones propias, cuando estas útimas son suficientemente suaves. Ejemplos numéricos, en 2D y 3D, los cuales corroboran nuestros resultados teóricos, son incluidos en esta presentación.
Trabajo en conjunto con: Matteo Cicuttin (Politecnico di Torino, Torino, Italia) y Ariel L. Lombardi (Universidad Nacional de Rosario, Rosario, Argentina).
Referencias
[1] Babuška, I.; Osborn, J., Eigenvalue problems, Handbook of Numerical Analysis, volume II of Handb. Numer. Anal., North-Holland, Amsterdam, (1991), 641-787.
[2] Bustinza, R.; Cicuttin, M.; Lombardi, A.-L., A hybrid high-order method for the mixed Steklov eigenvalue problem. Numerische Mathematik, 157 (2), (2025), 47-475.
[3] Calo, V.; Ciccutin, M.; Deng, Q.; Ern, A., Spectral approximation of elliptic operators by the Hybrid High-Order method. Mathematics of Computation, 88 (318), (2019). 1559-1586.
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An a posteriori error estimator for linear elasticity problem with nonhomogeneous Dirichlet boundary condition
Tomás P. Barrios
Universidad Católica de la Santísima Concepción, Facultad de Ingeniería, GIANuC$^2$ y Departamento de Matemática y Física Aplicadas, Chile - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
We develop a locking-free numerical analysis for the linear elasticity problem with non homoge- neous Dirichlet boundary condition, approximated by an unusual conforming finite element scheme. The starting point is the performing of a homogenization procedure that lets us to analise a similar elasticity problem with homogeneous boundary condition. Next, we add some kind of least square terms to the variational formulation, allowing to consider any pair of finite-dimensional subspaces of the continuous ones. The resulting augmented scheme is different from others available in litera- ture, but coincide when we deal with homogeneous Dirichlet condition. We prove the well posedness of our scheme, as well as the optimal rate of convergence for the a priori error analysis, which turn out to be valid for both 2D and 3D. The a posteriori error analysis is based on the Ritz projection of the error, and we present an indicator that consists of just two residual terms, which is reliable and local efficient. We provide numerical experiments that illustrate the performance of the corresponding adaptive algorithm and support its use in practice.
Trabajo en conjunto con: Edwin Behrens (Universidad Católica de la Santísima Concepción, Chile) y Rommel Bustinza (Universidad de Concepción, Chile).
Referencias
[1] J. A. Almonacid, G. N. Gatica and R. Ruiz-Baier, Ultra-weak symmetry of stress for augmented mixed finite element formulations in continuum mechanics. Calcolo, 57, 1, article: 2, (2020)
[2] T. P. Barrios, E. M. Behrens and M. González. Low cost A posteriori error estimators for an augmented mixed FEM in linear elasticity. Applied Numerical Mathematics, 84, 46–65, (2014).
[3] J. Camaño, R. Oyarzúa , R. Ruiz-Baier and G. Tierra. Error analysis of an augmented mixed method for the Navier-Stokes problem with mixed boundary conditions, IMA Journal of Numerical Analysis, 38, 1452–1484, (2018).