Sesión Lógica y Computabilidad
Jueves 19 de septiembre
Mañana - Aula 21
Horario | Título | Expositor/a |
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9:40 ~ 10:15 | Retículos de Lewis débiles | Sergio Celani |
10:15 ~ 10:50 | Cuasivariedades de hoops básicos | Gabriel Ignacio Bernal Ribotta |
10:50 ~ 11:25 | Dualidad topológica para semiretículos con adjunciones | Belén Giménez |
Horario | Título | Expositor/a |
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15:05 ~ 15:40 | Axiomatización de sistemas lógicos modales multivaluados finitos | Eros Pablo Girardi |
15:40 ~ 16:15 | Semántica algebraica para un fragmento de la lógica intuicionista dinámica concurrente | Rocío Elizabeth Wagner |
Resúmenes
Jueves 19 de septiembre, 9:40 ~ 10:15
Retículos de Lewis débiles
Sergio Celani
Facultad de Ciencias Exactas- NUCOMPAC y CONICET. Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Un marco de entorno (neighbourhood frame) es una estructura relacional de la forma $\left \lt X,M\right \gt $, donde $X$ es un conjunto y $M\subseteq X\times\mathcal{P}(X)$, es decir, $M$ es una relación entre puntos y subconjuntos de $X$. Estas clases de estructuras se utilizan para estudiar lógicas modales más generales que las lógicas modales normales. En esta charla vamos a estudiar la teoría de representación de la variedad $\mathsf{WL}$ de retículos distributivos con una implicación $\Rightarrow$, llamados retículos de Lewis débiles, que corresponden a los subreductos ${\vee,\wedge,\Rightarrow,\bot,\top}$ de la clase de álgebras generada por la famila de álgebras $\left\{ \langle\mathcal{P}(X),\cup,\cap,\emptyset,X\Rightarrow_{M}\rangle\colon\langle X,M\rangle\text{ es un marco de entorno}\right\} $, donde la implicación $\Rightarrow_{M}$ se define por \[ U\Rightarrow_{M}V=\left\{ x\in X\colon\forall Y\in M(x)(Y\subseteq U\text{ implica }Y\subseteq V)\right\} \] para todo $U,V\in\mathcal{P}(X)$. La variedad $\mathsf{WL}$ corresponde fragmento de la lógica $\mathsf{iP^{-}}$ (arithmetical base preservativity logic ) e incluye a la variedad de las álgebras de Heyting débiles [1]. La importancia de la variedad $\mathsf{WL}$ y su teoría de representación radica que permite probar un teorema de completitud para la lógica $\mathsf{iP^{-}}$ y algunas de sus extensiones [2] [3][4][5].
Trabajo en conjunto con: Ismael Calomino (Universidad Nacional del Centro ) y Hernán San Martín (Universidad Nacional de la Plata).
Referencias
[1] Celani S., Jansana R.: Bounded distributive lattices with strict implication. Math. Log. Q. {51}, 219–246 (2005).
[2] de Groot J., Litak T., Pattinson D.: Gödel-McKinsey-Tarski and Blok-Esakia for Heyting-Lewis Implication. https://arxiv.org/pdf/2105.01873.pdf
[3] Iemhoff R.: {Preservativity logic: An analogue of interpretability logic for constructive theories}. Math. Log. Q. {49}, 230–249 (2003).
[4] Iemhoff R., De Jongh D., Zhou C.: {Properties of intuitionistic provability and preservativity logics}. Logic J. IGPL {13}, 615–636 (2005).
[5] Litak T., Visser A.: {Lewis meets Brouwer: constructive strict implication}. Indag. Math. {29}, 36–90 (2018).
Jueves 19 de septiembre, 10:15 ~ 10:50
Cuasivariedades de hoops básicos
Gabriel Ignacio Bernal Ribotta
Universidad Nacional del Litoral (UNL), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Un hoop es un álgebra $(A,\cdot,\to,1)$ tal que $(A,\cdot,1)$ es un monoide conmutativo y se satisfacen $x\to x = 1$, $x\cdot(x\to y) = y\cdot(y\to x)$ y $x\to(y\to z) = (x\cdot y)\to z$. Un hoop es de Wajsberg si, además, se cumple $(x\to y)\to y = (y\to x)\to x$. Son la contraparte algebraica del razonamiento multivaluado positiva.
Por otro lado, los hoops básicos son álgebras $(A,\cdot,\to,1)$ que son productos subdirectos de hoops totalmente ordenados. Estos forman una variedad axiomatizada por $(x\to y)\to z \leq ((y\to x)\to z) \to z$.
Los hoops básicos totalmente ordenados pueden ser representados como suma ordinal de hoops de Wajsberg. Estos resultados junto con un estudio de las variedades son presentados en [1,3].
Las subvariedades y subcuasivariedades de hoops básicos se corresponden con extensiones del fragmento positivo de la lógica básica de Hájek, por lo que su estudio tiene un impacto importante en el desarrollo de la lógica. Dada la complejidad de las cuasivariedades, los estudios actuales se han centrado en el estudio de variedades.
Las cuasivariedades de hoops de Wajsberg generadas por una única cadena fueron estudiadas en [2,4]. Usando estos resultados, analizamos las cuasivariedades generadas por hoops básicos totalmente ordenados que son sumas ordinales finitas de hoops de Wajsberg.
En este trabajo vamos a ver algunos resultados interesantes de caracterización de cuasivariedades de hoops básicos teniendo como puntapié incial la construcción de suma ordinal y su comportamiento con respecto a los operadores del álgebra universal.
Trabajo en conjunto con: Conrado Gómez (Universidad Nacional del Litoral, Argentina), Manuela Busaniche (Universidad Nacional del Litoral, Argentina) y Miguel Marcos (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).
Referencias
[1] Aglianò, P., and Montagna F., `Varieties of {BL}-algebras {I}: general properties', Journal of Pure and Applied Algebra, 181, (2003), 105--129.
[2] Aglianò, P., `Quasivarieties of Wajsberg Hoops', Fuzzy Sets and Systems, 465, (2023).
[3] Busaniche, M., `Decomposition of BL-chains', Algebra Universalis, 52, (2004), 519--525.
[4] Gispert, J., and Torrens, A., `Quasivarieties Generated by Simple MV-Algebras', Studia Logica, 61(1), (2003), 79–-99.
Jueves 19 de septiembre, 10:50 ~ 11:25
Dualidad topológica para semiretículos con adjunciones
Belén Giménez
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Un semiretículo con adjunción es una estructura $ (A, l, r)$ donde $A = ⟨A, ∧, 1⟩$ es un semiretículo acotado, con l y r operadores unarios sobre A que verifican: \[(Adj) \ l(x) ≤ y \longleftrightarrow x ≤ r(y)\] El objetivo principal de este trabajo es desarrollar una dualidad entre la categoría de semiretículos con adjunciones y una categoría de ciertos espacios topológicos multirelacionales con determinados morfismos. Para llevar a cabo esta dualidad, empleamos la dualidad para semiretículos monótonos desarrollada por Calomino, Menchón y Zuluaga en [1], así como ciertos resultados establecidos en [2].
Trabajo en conjunto con: Gustavo Pelaitay (CONICET -UNSJ) y William Zuluaga (CONICET-UNICEN).
Referencias
[1] Calomino, I., Menchón, P. y Botero, W.J.Z. A Topological Duality for Monotone Expansions of Semilattices. Appl Categor Struct 30, 1257–1282 (2022).
[2] Celani, S.A., González, L.J. A Categorical Duality for Semilattices and Lattices. Appl Categor Struct 28, 853–875 (2020).
Jueves 19 de septiembre, 15:05 ~ 15:40
Axiomatización de sistemas lógicos modales multivaluados finitos
Eros Pablo Girardi
Universidad Nacional del Litoral, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Los sistemas de lógicas modales y multivaluadas son una extensión de las lógicas modales clásicas que admiten más de dos valores de verdad. Nos proveen de formalizaciones que nos permiten modelar otros tipos de razonamientos más generales que los clásicos.
Las semánticas basadas en modelos de Kripke son en la lógica modal clásica las herramientas que permiten la interpretación de las proposiciones. Estos modelos están formados por un conjunto de mundos posibles, una relación binaria $R$ de accesibilidad entre ellos y una evaluación $e$ en el álgebra de Boole de 2 elementos de cada una de las proposiciones en cada uno de los mundos posibles. En el contexto no-clásico, tanto la relación $R$ de accesibilidad como la evaluación $e$ pasan a ser multivaluadas ([1]). En este caso, $R$ se modifica y pasa a ser una relación que establece el grado de accesibilidad entre dos mundos como función de dos variables. Por otro lado, $e$ pasa a ser una evaluación que da el grado de verdad de una proposición en un mundo.
En el caso clásico, hay una correspondencia entre los modelos cuyas relaciones satisfacen ciertas propiedades y los axiomas de esos sistemas determinados por esos modelos ([3]). Nuestro objetivo es investigar este tipo de correlación en sistemas de lógicas modales y multivaluadas para algunos casos concretos ([2]). En particular, centramos la investigación en el caso que tanto la relación como la evaluación tomen valores en cadenas finitas, en particular sobre las álgebras finitas n-arias de Łukasiewicz y Gödel. Este trabajo pretende dar un primer paso en la caracterización de sistemas lógicos modales y multivaluados. Demostramos rigurosamente algunas equivalencias entre axiomas y propiedades de la relación de accesibilidad en el caso multivaluado junto a otras propiedades.
Trabajo en conjunto con: Dra. Manuela Busaniche (Universidad Nacional del Litoral) y Dr. Miguel Marcos (Universidad Nacional del Litoral).
Referencias
[1] Bou F., Esteva, F., Godo, L., Rodriguez, R. On the minimum many-valued modal logic over a finite residuated lattice, Journal of Logic and Computation, 21(5): 739--790, 2011.
[2] Busaniche, M., Cordero, P., Marcos, M., Rodriguez, R. An algebraic semantics for possibilistic finite-valued \L ukasiewicz logic. International Journal of Approximate Reasoning. Volume 159, 2023.
[3] Calarco, V. On Simplified Semantics and Translation Problems for Euclidean Modal Logics. Master Thesis, supervised by Metcalfe, G. and van den Berg, Line. Mathematical Institute of the Faculty of Science, University of Bern, 2023.
Jueves 19 de septiembre, 15:40 ~ 16:15
Semántica algebraica para un fragmento de la lógica intuicionista dinámica concurrente
Rocío Elizabeth Wagner
Universidad Nacional de La Pampa, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La lógica Proposicional dinámica (PDL) [1] es un sistema lógico basado en la lógica clásica definido sobre un lenguaje de programas. A cada programa $\alpha$ se le asocia un conector modal $[\alpha]$ donde la fórmula $[\alpha]\varphi$ significa: después de cada ejecución de $\alpha$, $\varphi$ es verdad. Se parte de programas atómicos y se forman nuevos programas a través de ciertas operaciones entre programas. Una extensión de la PDL, llamada lógica concurrente proposicional dinámica (CDPL), fue considerada por Pelag [2], agregando una operación entre programas, la cual fue estudiada principalmente por R.Goldblatt en [3],[4]. La CPDL está basada en la lógica clásica, aquí consideraremos una versión de las lógicas proposicionales dinámicas concurrentes basadas en la lógica intuicionista (ICPDL) con un solo programa ([5],[6]). En esta comunicación presentaremos semánticamente un nuevo fragmento de las ICPDL con un solo programa. Daremos una axiomatización a través de un sistema al estilo Hilbert y extendiendo las nociones estudiadas por Sergio Celani en [7] para álgebras de Boole concurrentes, presentaremos a las Álgebras de Heyting concurrentes o CH-álgebras, las cuales forman una semántica algebraica para dicho fragmento de ICPDL. Hemos desarrollado dos semánticas relacionales, los ic-marcos y los IKN-marcos. Aquí, nos centraremos en los ic-marcos. Presentaremos un tipo de espacio topológico (Espacios de Esakia concurrentes) basados en los ic-marcos, los cuales son una representación topológica de las CH-álgebras. Definiremos la categoría de las CH-álgebras y la categoría de los Espacios de Esakia concurrentes, y veremos que estas categorías son dualmente equivalentes.
Trabajo en conjunto con: Luciano González (Universidad Nacional de La Pampa, Argentina) y Sergio Celani (Universidad Nacional del Centro de la provincia de Buenos Aires, Argentina).
Referencias
[1] V. R. Pratt. Semantical considerations on Floyd-Hoare logic. In 17th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, pages 109-121. IEEE, 1976.
[2] D. Peleg. Concurrent dynamic logic. Journal of the Association for Computing Machin ery, 34(2):450-479, 1987.
[3] R. Goldblatt. Logics of time and computation, volume 7 of Lecture Notes. CSLI, second edition edition, 1992.
[4] R. Goldblatt. Parallel action: Concurrent dynamic logic with independent modalities. Studia Logica, 51:551-578, 1992.
[5] D. Wijesekera. Constructive modal logics I. Ann. of Pure Appl. Logic, 50(3):271-301, 1990.
[6] D. Wijesekera and A. Nerode. Tableaux for constructive concurrent dynamic logic. Ann. Pure Appl. Logic, 135(1-3):172, 2005.
[7] S. Celani. Concurrent algebras: an algebraic study of a fragment of concurrent propo sitional dynamic logic. Algebra Universalis, 66:183-204, 2011.