Resúmenes

Álgebra

Ordenados alfabéticamente por título.
Por modificaciones, comunicarse al correo del Noticiero UMA (uma.noticiero@gmail.com).

Acerca de las álgebras de Hopf punteadas sobre grupos no abelianos

Guillermo Sanmarco (Universidad Nacional de Córdoba, gsanmarco91@gmail.com); Iván Angiono (Universidad Nacional de Córdoba, angiono@famaf.unc.edu.ar)

Recientemente Heckenberger y Vendramín han clasificado los módulos de Yetter-Drinfeld no simples sobre grupos no abelianos tales que su álgebra de Nichols es de dimensión finita.

En esta charla describimos todas las álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita cuya trenza infinitesimal es uno de los ejemplos que aparecen en la clasificación antes mencionada. Más precisamente, el módulo de Yetter-Drinfeld en cuestión se obtiene como suma de dos objetos simples: un punto y el módulo asociado al conjunto de trasposiciones en el grupo simétrico en tres letras. Damos una presentación por generadores y relaciones del álgebra de Nichols correspondiente y mostramos que esta familia de álgebras de Hopf punteadas satisfacen la conjetura de Andruskiewitsch-Schneider.

Esta comunicación está basada en el trabajo arXiv:1905.04285.

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Algoritmos de trisección en curvas de género 2 y aplicaciones

Edgardo Riquelme (Universidad del Bío-Bío, edriquelme@ubiobio.cl); Nicolas Thériault (Universidad de Santiago de Chile, nicolas.theriault@usach.cl)

Algoritmos de trisección (división por 3) eficientes para divisores en curvas hiperelípticas en característica impar han sido estudiados por Gaudry y Schost y también por los autores en característica par e impar. El principal interés de estos algoritmos reside en su aplicación a algoritmos tipo Schoof para calcular el orden del grupo para la Jacobiana de curvas de género 2. Calcular el orden del grupo es necesario si nosotros queremos saber si la Jacobiana de la curva de género dos puede ser considerada computacionalmente segura para fines criptográficos.
Nosotros proporcionamos polinomios de trisección simbólicos para Jacobianas de curvas de género 2 sobre cuerpos finitos $\mathbb{F}_q$ de característica impar. Nosotros damos detalles del cálculo simbólico de los polinomios de trisección y como estos pueden ser usados en la práctica.
Como indican nuestros experimentos estos polinomios pueden ser usados para mejorar la eficiencia de algoritmos de trisección los que pueden ser usados para obtener algoritmos de conteo de puntos tipo Schoof más rápidos.

\footnote{Parcialmente financiado por DIUBB 1738093/I}
\footnote{Parcialmente financiado por FONDECYT grant 1151326}

Bibliografía

[GS04] P. Gaudry and E. Schost, Construction of secure random curves of genus 2 over prime fields, in: Advances in Cryptology -- EUROCRYPT 2004,

[GS12] P. Gaudry and E. Schost, Genus 2 point counting over prime fields, Journal of Symbolic Computation, 47, Number 4, 368--400, (2012).

[MPTAMC] J. Miret, J. Pujolàs and N. Thériault, Trisection for supersingular genus 2 curves in characteristic 2, Advances in Mathematics of Communications, 8, Number 4, 375--387, (2014).

[PRT] J. Pujolàs, E. Riquelme, N. Thériault. Trisection for non-supersingular genus 2 curves in characteristic 2. Int. J. Comput. Math., 93, Number 8, 1254--1264, (2016).

[edg] E. Riquelme, Trisection for genus $2$ curves in odd characteristic, Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, 27, Number 5, 373--397, (2016).

[RT] Riquelme E., Theriault N., Symbolic trisection polynomials for genus 2 curves in odd characteristic, Siam Discrete Mathematic, 32 Number 4, 2421-2440. (2018).

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Aritmética de curvas superelípticas sobre cuerpos locales.

Angel Villanueva (FaMAF - CIEM, villanueva@famaf.unc.edu.ar); Ariel Pacetti (FaMAF - CIEM, apacetti@famaf.unc.edu.ar)

En un trabajo reciente, Dokchitser–Dokchitser–Maistret–Morgan (2018) introducen el concepto de cluster asociado a una curva hiperelíptica y muestran como a partir del mismo uno puede obtener y calcular ciertos invariantes de la curva. En esta charla mostraremos como juntando las ideas del trabajo mencionado con un algoritmo de Bouw-Wewers (2017) para encontrar modelos semiestables de curvas superelípticas uno puede generalizar estos resultados a curvas superelípticas, y leer información aritmética (género, número de componentes, conductor, inercia de la representación de Galois) a partir del cluster asociado.

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Cohomología rígida no conmutativa

Guillermo Cortiñas (IMAS-DM, FCEyN-UBA, gcorti@dm.uba.ar)

Sean $V$ un anillo de valuación discreta de caracterí stica $0$, parámetro uniformizante $\pi$, cuerpo residual $k=V/\pi V$ de caracterí stica $p >0$ y cuerpo de fracciones $K$. La cohomologí a rí gida de un álgebra conmutativa $A$ de tipo finito sobre $k$ es una versión de la cohomologí a de de Rham adaptada a caracterí stica positiva; asocia a cada tal álgebra un $K$-espacio vectorial graduado $H^*_{\mathrm{rig}}A$. En la charla presentaremos una versión de esa cohomologí a que está definida para toda $k$-álgebra asociativa $A$; asocia a cada tal álgebra un espacio vectorial graduado $HR_*(A)$. Cuando $A$ admite una presentación $A=R/\pi R$ con $R$ una $V$-álgebra que es libre como $V$-módulo, $HR_*(A)$ coincide con la homologí a cí clica analí tica $H_{\mathrm{an}}^*R^\dagger$ de la completación de Monsky-Washnitzer de $R$. Veremos que $H_{\mathrm{an}}^*$ está definida para toda $V$-álgebra de Banach (y más generalmente para toda $V$-álgebra bornológica completa) y que satisface propiedades análogas a las de su contraparte arquimediana (definida para álgebras bornológicas completas sobre los números reales y complejos): escisión, invarianza homotópica, etc. Finalmente mostraremos que si $A$ es una $k$-álgebra conmutativa suave que satisface cierta condición técnica, entonces $HR_*(A)$ puede verse como la periodificación de $H_{\mathrm{rig}}^*A$; se tiene \[ HR_n(A)=\bigoplus_{j\in\mathbb{Z}}H^{2j-n}_{\mathrm{rig}}A. \]

Los resultados citados y a reportar en la charla reflejan trabajo pasado y en proceso de realización, e incluyen una colaboración con Joachim Cuntz, Ralf Meyer y Georg Tamme.

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Degeneraciones de las álgebras de Lie reales simplécticas de dimensión $4$

Silvina Ruth Gomez (FACET-UNT, sgomez@herrera.unt.edu.ar); Nadina Rojas (FaCEFyN-UNC, nadina.rojas@unc.edu.ar)

Definición. Un álgebra de Lie real simpléctica es una terna $(\mathbb{R}^{2n}, \mu, \omega)$ tal que $(\mathbb{R}^{2n}, \mu)$ es un álgebra de Lie y $\omega: \mathbb{R}^{2n} \times \mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}$ una $2$-forma, no degenerada tal que \[ \omega(\mu(X,Y), Z) + \omega(\mu(Z, X), Y) + \omega(\mu(Y, Z), X)= 0 \;\;\;\;\; \forall X, Y, Z \in \mathbb{R}^{2n}. \] Denotemos por $C^{2}$ al conjunto de los mapeos bilineales y alternantes de $\mathbb{R}^{2n}$ en $\mathbb{R}^{2n}$ y por $\omega_0: \mathbb{R}^{2n} \times \mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}$ la $2$-forma simpléctica standard de $\mathbb{R}^{2n}$ \[ \omega_0= \sum_{i=1}^n e_i \wedge e_{n+i}. \] Sea $W=\left\{ \mu \in C^{2}: \omega_0(\mu(X,Y),Z) + \omega_0(\mu(Z,X),Y) + \omega_0(\mu(Y,Z,X))= 0\right\}$, subespacio vectorial de $C^2$, y $S(\mathbb{R})$ el subconjunto de $W$ tal que $(\mathbb{R}^{2n}, \mu, w_0)$ es un álgebra de Lie real simpléctica.

El grupo simpléctico $Sp(2n,\mathbb{R})$, actúa sobre $S(\mathbb{R})$ por cambio de base y el conjunto de órbitas $S(R)/SP(2n,R)$ parametriza las álgebras de Lie simplécticas de dimensión $2n$ (salvo simplectomorfismo).

De manera análoga a lo que ocurre en el estudio de otras variedades de álgebras, podemos estudiar las nociones de rígidez y degeneraciones en el conjunto $S(\mathbb{R})$: dadas dos álgebras de Lie simplécticas $\mu_1, \mu_2 \in S(\mathbb{R})$ decimos que $\mu_1$ se degenera en $\mu_2$, y lo denotamos por $\mu_1 \overrightarrow{\hspace{0.25cm}{\scriptscriptstyle }\hspace{0.25cm}} \mu_2$, si $\mu_2 \in \overline{Sp(2n, \mathbb{R}) \cdot \mu_1}$ donde $\overline{Sp(2n, \mathbb{R}) \cdot \mu_1}$ es la clausura de la $Sp(2n, \mathbb{R})$-órbita de $\mu_1$ con respecto de la topología euclídea de $C^2$. Decimos que un álgebra de Lie simpléctica $\mu$ es rígida, si la $\mathrm{Sp}(2n, \mathbb{R})$-órbita de $\mu_1$ es un conjunto abierto de $S(\mathbb{R})$, con respecto a la topología heredada de $C^2$. Por último, diremos que el álgebra de Lie simpléctica $(\mathbb{R}^{2n}, \mu, \omega_0)$ es minimal si la $Sp(2n, \mathbb{R})$-órbita de $\mu$ es cerrada.

Ovando en [Ov], clasificó las álgebras de Lie reales simplécticas de dimensión $4$. En esta charla, basados en dicha clasificación, estudiaremos los conceptos dados anteriormente.

Bibliografía

[Ov] G. Ovando, Four Dimensional Symplectic Lie Algebras, Beiträge zur Algebra und Geometrie-Contributions to Algebra and Geometry, Vol. 47, No. 2, (2006), 419--434.

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Descomposición exacta de polinomios como sumas de cuadrados

Santiago Jorge Laplagne (Universidad de Buenos Aires, slaplagn@dm.uba.ar); Jose Capco (University of Innsbruck, jose.capco@uibk.ac.at); Claus Scheiderer (University of Konstanz, claus.scheiderer@uni-konstanz.de)

Decidir si un polinomio dado puede escribirse como suma de cuadrados y calcular la des\-composición es un problema fundamental de la geometría algebraica real. En nuestro trabajo nos enfocamos en el problema de determinar cuándo un polinomio racional que puede descomponerse como suma de cuadrados de polinomios reales ($\mathbb{R}$-SOS) puede descomponerse también como suma de cuadrados de polinomios racionales (${\mathbb Q}$-SOS). Los primeros ejemplos negativos (es decir, polinomios racionales que son $\mathbb{R}$-SOS pero no ${\mathbb Q}$-SOS) fueron encontrados por C. Scheiderer [5]. En ese trabajo el autor da una caracterización completa de todos los ejemplos negativos para el caso de polinomios de grado 4 en 3 variables (que notamos caso (3,4)). En particular, todos los posibles ejemplos son sumas de dos cuadrados con coeficientes en una extensión algebraica de ${\mathbb Q}$ de grado par. En [4] se presenta un nuevo ejemplo negativo, dado por un polinomio de grado 6 en 4 variables (caso (4,6)), con coeficientes en una extensión de ${\mathbb Q}$ de grado impar. El ejemplo fue encontrado utilizando elecciones arbitrarias de polinomios y la demostración utiliza técnicas computacionales difíciles de extender a familias de polinomios. Se plantea entonces como pregunta interesante estudiar los casos intermedios de polinomios de grado 6 en 3 variables y grado 4 en 4 variables (es decir, los casos (3,6) y (4,4)). El estudio general de los conos de polinomios no--negativos y sumas de cuadrados en esos casos ha despertado últimamente un gran interés (ver por ejemplo [1], [2] y [3]). Siguiendo la construcción en [4], encontramos nuevos ejemplos de polinomios racionales no--negativos que son $\mathbb{R}$-SOS pero no ${\mathbb Q}$-SOS para ambos casos. Más aún, demostramos mediante argumentos teóricos más generales que estos ejemplos no admiten una descomposición racional, y que la descomposición es única (salvo transformaciones ortogonales). Esto nos permite extender los resultados a nuevas familias de ejemplos, perturbando los coeficientes y utilizando distintas extensiones algebraicas de ${\mathbb Q}$ de grado 3.

Trabajo en progreso.

Bibliografía

[1] Grigoriy Blekherman, Nonnegative polynomials and sums of squares, Semidefinite optimization and convex algebraic geometry, MOS-SIAM Ser. Optim., vol. 13, SIAM, Philadelphia, PA, 2013, pp. 159--202.

[2] Grigoriy Blekherman, Jonathan Hauenstein, John Christian Ottem, Kristian Ranestad y Bernd Sturmfels, Algebraic boundaries of {H}ilbert's {SOS} cones, Compos. Math. 148 (2012), no. 6, 1717--1735.

[3] Jose {Capco} y Claus {Scheiderer}, {Two remarks on sums of squares with rational coefficients}, arXiv e-prints (2019), arXiv:1905.13282.

[4] Santiago Laplagne, Facial reduction for exact polynomial sum of squares decompositions, Mathematics of Computation (2018), to appear.

[5] Claus Scheiderer, Sums of squares of polynomials with rational coefficients, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 18 (2016), no. 7, 1495--1513.

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Descomposición equidimensional efectiva y sistemas polinomiales ralos

María Isabel Herrero (U. de Buenos Aires - IMAS (UBA - CONICET), iherrero@dm.uba.ar); Gabriela Jeronimo (U. de Buenos Aires - IMAS (UBA - CONICET), jeronimo@dm.uba.ar); Juan Sabia (U. de Buenos Aires - IMAS (UBA - CONICET), jsabia@dm.uba.ar)

Toda variedad algebraica afí n puede describirse en forma \' unica como una uni\' on irredundante de variedades equidimensionales. Si la variedad est\' a definida como los ceros comunes de una familia finita de polinomios, dar una descomposición equidimensional efectiva es dar, a partir de los polinomios que la definen, una descripción de las componentes equidimensionales por medio de un algoritmo. Existen diversos procedimientos que describen la descomposición equimensional efectiva de una variedad. Estos algoritmos tienen una complejidad (cantidad de pasos) que depende de los grados de los polinomios involucrados. Un punto de vista que ha dado mejoras en los algoritmos asociados a sistemas de ecuaciones polinomiales a partir de los trabajos de Bernstein, Kushnirenko y Khovanskii es tener en cuenta los soportes de los polinomios involucrados (es decir, los monomios que aparecen en su escritura con coeficientes no nulos). La idea central de esta aproximaci\' on es medir la complejidad en términos geométrico-combinatorios que involucren a los soportes. En este sentido, en un trabajo previo hemos dado un algoritmo que calcula la descomposición equidimensional efectiva de variedades definidas por polinomios genéricos cuya complejidad se mide en términos de este tipo de invariantes. En dicho trabajo, cada componente se describe por su dimensión, una variedad lineal de dicha dimensión y el conjunto finito de puntos (llamado witness set) que es la intersección de la variedad lineal y la componente equidimensional en cuestión, de cardinal igual al grado de la componente, elementos que la caracterizan completamente. Sin embargo, este algoritmo no caracteriza la descomposición equidimensional para variedades dadas por polinomios arbitrarios.

En esta comunicación intentaremos explicar el problema en cuestión, las dificultades halladas y dar algunos resultados teóricos y algorí tmicos que obtuvimos sobre deformaciones homotópicas de variedades, que si bien no resuelven aún el problema general completamente, creemos que tienden a obtener una descomposición equidimensional efectiva de variedades con complejidad calculable en función de invariantes asociados a los soportes de los polinomios (arbitrarios) involucrados.

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El código conorma

Maria Chara (Universidad Nacional del Litoral - CONICET, charamaria@gmail.com); Ricardo Podestá (Universidad Nacional de Córdoba - CONICET, richarpodesta@gmail.com); Ricardo Toledano (Universidad Nacional del Litoral, ridatole@gmail.com)

A partir de los años 80, se produjo una revolución en la teoría de la información cuando Goppa introdujo métodos de la geometría algebraica, para definir códigos obtenidos a partir de evaluar funciones racionales de curvas algebraicas en puntos racionales. Estos códigos algebraico-geoméricos (o códigos AG) mostraron ser asintóticamente mejores los códigos clásicos conocidos. En esta charla hablaremos sobre códigos AG sobre cuerpos finitos. Consideraremos una extensión finita $F'/\mathbb{F}_q$ de un cuerpo de funciones $F/\mathbb{F}_q$ y vamos a mostrar cómo construir el AG-código conorma $\mathcal{C}=C_{\mathcal{L}}^{F'}(D',G')$ sobre $\mathbb{F}_{q}$ empezando con un AG-código $\mathcal{C}=C_{\mathcal{L}}^F(D,G)$ sobre $\mathbb{F}_q$. Daremos estimaciones para sus parámetros y mostraremos el caso particular en donde el código base es un AG-código cíclico.

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El problema de Waring en cuerpos finitos y grafos generalizados de Paley

Denis E. Videla (Universidad Nacional de Córdoba, denisv458@gmail.com); Ricardo Podestá (Universidad Nacional de Córdoba, podesta@famaf.unc.edu.ar)

El problema de Waring clásico, introducido por Edward Waring, pregunta si dado $k \in \mathbb{N}$, existe un número $g(k)$ tal que todo natural puede ser escrito como la suma de a lo más un número $g(k)$ de k-ésimas potencias. Por ejemplo $g(1)=1$, $g(2)=4$ y $g(3)=9$. tEste último hecho fue probado por Hilbert en 1909 y desde entonces es conocido como el Teorema de Hilbert-Waring. t t t tEn el contexto de cuerpos finitos, dado un cuerpo finito $\mathbb{F}_q$ y un entero $k\mid q-1$, el problema es decidir si es posible expresar cada elemento del cuerpo como una suma de potencias $k$-ésimas en el cuerpo. En este caso, el número de Waring $g(k,q)$ es el menor valor $s$ tal que todo elemento de $\mathbb{F}_q$ es una suma de a lo más una cantidad $s$ de potencias $k$-ésimas de elementos del cuerpo. tEste es un problema abierto que sólo ha sido resuelto para algunas familias de parámetros. Más aún, la obtención de buenas cotas es también satisfactorio. t t t tHay tres métodos generales para calcular ó estimar $g(k,q)$: combinatoria aditiva, sumas exponenciales y métodos de Lattice. Aquí proponemos una nueva estrategia, mostrando que el cálculo del número de Waring es equivalente al cálculo del diámetro de cierto grafo de Cayley definido sobre el cuerpo finito $\mathbb{F}_q$, los llamados grafos generalizados de Paley. En esta charla veremos cómo a partir de caracterizaciones de estos grafos es posible calcular el número de Waring en algunos casos no conocidos; luego presentamos una fórmula exacta de reducción de tipo $g(k_b,q^b)=b g(k,q)$ donde $k_b$ depende de $k$, $b$ y $q$; por último mostraremos una nueva cota inferior para $g(k,q)$ en el caso de que $q$ es primo. t t t tEsta charla es parte de un trabajo en curso conjunto con Ricardo Podestá.

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Estimaciones de soluciones racionales de ciertas ecuaciones polinomiales sobre cuerpos finitos

Melina Lorena Privitelli (UNGS-CONICET, mprivite@ungs.edu.ar); Mariana Valeria Pérez (UNAHUR-CONICET, mariana.perez@unahur.edu.ar)

Ciertos problemas de teoría de códigos, criptografía y combinatoria requieren el estudio de la geometría de variedadades “simétricas" sobre cuerpos finitos, es decir, variedades definidas por polinomios en los polinomios simétricos elementales (ver, por ejemplo [1], [2] y [3]). En este trabajo, consideramos polinomios en variables de la forma $S_k=X_1^k+\cdots+X_n^k.$ Es decir, dado $f \in \mathbb{F}_{\hskip-0.7mm q}[Y_1,\ldots,Y_d]$ (donde $\mathbb{F}_{\hskip-0.7mm q}$ es el cuerpo finito de $q$ elementos) y $S_{k_1},\ldots,S_{k_d}\in \mathbb{F}_{\hskip-0.7mm q}[X_1,\ldots,X_n]$, definimos la variedad dada por $f(S_{k_1}, \dots, S_{k_d})$. Bajo ciertas hipótesis sobre $f$, probamos que dicha variedad es absolutamente irreducible y obtenemos una cota de la dimensión de su lugar singular. A partir de este estudio, y utilizando los resultados de conteo de puntos $\mathbb{F}_{\hskip-0.7mm q}$-racionales para variedades singulares provistos en [4], obtenemos estimaciones de la cantidad de puntos $\mathbb{F}_{\hskip-0.7mm q}$-racionales de este tipo de variedades.

Nuestras estimaciones son aplicadas al problema de estimar el cardinal del conjunto de soluciones $\mathbb{F}_{\hskip-0.7mm q}$-racionales de ciertas ecuaciones polinomiales sobre $\mathbb{F}_{\hskip-0.7mm q}$. Más precisamente, obtenemos resultados de existencia y estimaciones de la cantidad de soluciones $\mathbb{F}_{\hskip-0.7mm q}$-racionales de las ecuaciones de Carlitz y de ecuaciones diagonales deformadas, entre otras. Estas estimaciones mejoran los existentes en la literatura (ver, por ejemplo, [5]).

Bibliografía

[1] A. Cafure, G. Matera, M. Privitelli. Singularities of symmetric hypersurfaces and Reed-Solomon codes, Adv. Math. Commun. 6 (2012). no. 1, 69--94.

[2] E.Cesaratto, G. Matera , M. Pérez y Melina Privitelli. On the value set of small families of polynomials over a finite field. I. J. Combin. Theory Ser. A 124 (2014), 203--227.

[3] G. Matera, M.Pérez y M. Privitelli. Factorization patterns on nonlinear families of univariate polynomials over a finite field, J Algebr. Comb. (2019), 1-51.

[4] S. Ghorpade and G. Lachaud, {{Étale} cohomology, {Lefschetz} theorems and number of points of singular varieties over finite fields}, Mosc. Math. J. {2} (2002), no. 3, 589--631.

[5] G. Muller y D. Panario. G. Mullen y D. Panario, Handbook of finite fields. CRC Press, Boca Raton, FL, 2013.

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Extensiones triviales, cortes admisibles y HW-reflexiones

Victoria Guazzelli (CEMIM - Universidad Nacional de Mar del Plata, victoria.guazzelli@gmail.com)

Trabajo conjunto con A. Álvarez, D. Bravo, E. Fernández, M. M\"{u}ller, N. Rojas y S. Trepode.

Esta charla está basada en un trabajo en progreso iniciado en el Workshop “Matemáticas en el Conosur” en la Universidad de la República, Uruguay, en diciembre de 2018.

Sea $A$ un algebra de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Consideramos $T(A)$ la extensión trivial de $A$ sobre su cogenerador inyectivo minimal, $D(A)$. La extensión trivial de $A$ es al álgebra de órbitas de la categoría repetitiva de $A$ bajo la acción del automorfimo de Nakayama, $\nu$.

En (HW), D. Hughes and J. Waschb\"{u}sch caracterizaron cuándo dos álgebras tienen la misma categoría repetitiva, y en consecuencia la misma extensión trivial, en términos de una secuencia de $\nu$-reflexiones que transforma un álgebra en la otra.

Luego, E. Fernández and M. I. Platzeck dieron una descripción del carcaj con relaciones de la extensión trivial de $A$ bajo la hipótesis que todo ciclo orientado en el carcaj ordinario de $A$ es cero en $A$. Más aún, en (FP), bajo las mismas hipótesis, las autoras caracterizaron a todas las álgebras $B$ que tienen la misma extensión trivial que $A$. Ellas probaron que $B$ puede obtenerse como un corte admisible de la extensión trivial de $A$.

El objetivo de esta charla es relacionar estos dos puntos de vista. Más precisamente, dada un algebra $B$ que es un corte admisible de la extensión trivial de un álgebra $A$, tales que $A$ y $B$ tienen la misma categoría repetitiva, describimos la secuencia de $\nu$-reflexiones que transforma el álgebra $A$ en el álgebra $B$.

Recíprocamente, dada una secuencia de $\nu-$reflexiones que transforma $A$ en $B$, determinamos cuál es el corte admisible de la extensión trivial de $A$ para obtener el álgebra $B$.

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Referencias:

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Funciones esfericas en el grupo simetrico

Carmen Luz Blanco Villacorta (FaMAF, carmenluzblanco@gmail.com)

En este trabajo se establecerán los resultados obtenidos sobre funciones eséricas en el caso del grupo simétrico $G=S_n$ y los subgrupos $K=\mathfrak{S}_{n-1}$ y $K= \mathfrak{S}_{n-2}\times \mathfrak{S}_2$. Estudiando en ambos casos las representaciones de dimensión uno del algebra $A[G]^K$.

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Funciones esféricas en grupos finitos.

María Ines Pacharoni (FaMAF- Univ. Nac. de Cordoba, inespacharoni@gmail.com); Carmen Blanco (FaMAF- Univ. Nac. de Cordoba, cblanco@famaf.unc.edu.ar); Juan A. Tirao (FaMAF- Univ. Nac. de Cordoba, tirao@famaf.unc.edu.ar)

Dado $G$ un grupo finito y un $K$ subgrupo de $G$ introducimos la noción de función esférica (a valores matriciales) de cualquier $K$-tipo $\delta\in \hat K$. Si $V$ un espacio vectorial de dimensión finita, decimos que $\Phi: G\longrightarrow \text{End}(V)$ es una función esférica de $G$ de tipo $\pi$, si $\Phi(e)=I$ y satisface la ecuacion funcional \[ \Phi(x)\Phi(y)= \frac 1{|K|} \sum_{k\in K} \chi_\pi (k^{-1}) \Phi(xky), \qquad x,y\in G.\]

La transformada de Fourier en $\Phi$ establece una relación entre funciones esféricas (irreducibles) de tipo $\delta$ y representaciones (irreducibles) del álgebra $A_\delta[G]=\{f\in A[G]:\bar{\chi}_\delta *f= f*\bar{\chi}_\delta =|K| f\},$ donde $A[G]$ denota el álgebra de grupo de $G$, con el producto de convolución.

Esta relación nos permite obtener, entre otros las siguientes caracterizaciones de funciones esféricas.


Teorema 1 \it{ $\Phi:G\rightarrow\mathrm{End}(V)$ es una función esférica de tipo $\delta$ si y sólo si

(i) $\Phi(e)=I$,

(ii) $\Phi(k_1gk_2)=\Phi(k_1)\Phi(g)\Phi(k_2)$ para todo $k_1, k_2\in K$, $g\in G$,

(iii) $[D_f\Phi](g)=\Phi(g)[D_f\Phi](e)$ para todo $f\in A[G]^K$. donde $[D_f\Phi]=\Phi *\check f $

(iv) La restricción $\Phi_{\vert_K}$ como representación de $K$ es equivalente a una suma directa de copias de $\delta$.

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Grupos formales conformes y bicoálgebras de vértices

Juan Guzmán (FAMAF-UNC, jguzman@famaf.unc.edu.ar); Carina Boyallian (FAMAF-UNC, boyallia@mate.uncor.edu)

Dada un álgebra de Lie conforme, su álgebra de vértices universal envolvente U posee una estructura de coálgebra que la convierte en una biálgebra de vértices [3]. En este trabajo estudiamos su dual lineal, para lo cual definimos la noción de bicoálgebra de vértices a partir de una versión topológica de la definición de coálgebra de vértices introducida en [2]. Usando la base PBW en U, mostramos que su dual es isomorfo a cierta álgebra de series formales de potencias, y a partir de ello definimos el concepto de ley de grupo formal conforme, manteniendo una analogía con la teoría de Lie clásica [1]. Por último, introducimos una definición de grupo formal conforme que nos permite continuar esta analogía y establecer una antiequivalencia de categorías entre la categoría de bicoálgebras de vértices y la categoría de grupos formales conformes.

Bibliografía

[1] Hazewinkel, M., Formal groups and applications, Academic Press Inc., New York, 1978.

[2] Hubbard, K., Vertex coalgebras, comodules, cocommutativity and coassociativity, J. Pure Appl. Algebra 213 (2009), no. 1, 109-126.

[3] Li, H., A smash product construction of nonlocal vertex algebras, Commun. Contemp. Math. 5 (2007) 605-637

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La 2-localización de una categoría de modelos

Eduardo Dubuc (Universidad de Buenos Aires, edubuc@dm.uba.ar); Jaqueline Girabel (Universidad de Buenos Aires, ja.girabel@gmail.com)

Quillen en [Homotopical Algebra, Springer LNM 43] presenta el concepto de categoría de modelos: una categoría $\mathcal{C}$ provista de tres clases de flechas $\{\mathcal{W},\, \mathcal{F},\, co\mathcal{F}\}$ (equivalencias debiles, fibraciones, cofibraciones), y construye la localización $\mathcal{C}[\mathcal{W}^{-1}]$ como el cociente de $\mathcal{C}$ por la congruencia determinada por las homotopías en los conjuntos de morfismos $\mathcal{C}(X,\,Y)$. En un trabajo inédito Dubuc, Szyld y Descotte introducen la noción de bicategoría de modelos y desarrollan una versión 2-categórica del trabajo de Quillen, en la cual las homotopías determinan las 2-celdas de la 2-localización en lugar de tomar la congruencia asociada como hace Quillen.

Aquí presentamos esa construcción en el caso particular de una categoría de modelos, en el que las cuentas resultan mucho más simples. La localización de Quillen se obtiene tomando el funtor $\pi_0$ de componentes conexas en las categorías de morfismos de la 2-localización. Nuestra demostración no es una simple generalización de la conocida demostración de Quillen. Se introducen nuevas definiciones de cilindro y de homotopía, considerando una única familia de morfismos $\Sigma$. Cuando $\Sigma$ es la clase $\mathcal{W}$ de equivalencias débiles de una categoría de modelos se obtienen los resultados de Quillen.

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La estructura de $\mathfrak{sl}(2)$-módulo de la cohomología del álgebra de Lie $3$-pasos nilpotente libre en 2 generadores con coeficientes en $\varLambda\mathfrak{g}$

Gonzalo Emanuel Matías Gutierrez (CIEM-FAMAF, gegutierrez@famaf.unc.edu.ar)

Sea $\mathfrak{g}$ el álgebra de Lie $3$-pasos nilpotente libre en dos generadores sobre un cuerpo de característica cero. Sabemos que $GL(2)$ es un subgrupo del grupo de automorfismos de $\mathfrak{g}$ y por lo tanto actua en el espacio $C^{p}\left(\mathfrak{g},\varLambda^q\mathfrak{g}\right) = \varLambda^{p}\mathfrak{g}^{*}\otimes\varLambda^q\mathfrak{g}$ de las $p$-cocadenas con coeficientes en $\varLambda^q\mathfrak{g}$. Esta acción conmuta con los morfismos $d:C^{p}\left(\mathfrak{g},\varLambda^q\mathfrak{g}\right)\longrightarrow C^{p+1}\left(\mathfrak{g},\varLambda^q\mathfrak{g}\right)$ que definen el complejo de Chevalley-Eilemberg. En este trabajo presentamos los avances obtenidos sobre la estructura de $GL(2)$-módulo de $H^{p}\left(\mathfrak{g},\varLambda^q\mathfrak{g}\right)$. Utilizamos este resultado para demostrar que $H_{3-nil}^{p}\left(\mathfrak{g},\mathfrak{g}\right)=0$, lo cual es implica de que $\mathfrak{g}$ es rígida en la variedad de álgebras de Lie 3-pasos nilpotentes.

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Los polinomios ciclotómicos binarios son planos: una demostración vía álgebra lineal

Javier Pedro García (Ciclo Básico Común. Universidad de Buenos Aires, javgrzgarcia@gmail.com)

Es un hecho conocido que si $p $ y $q$ son números primos diferentes, los coeficientes del polinomio ciclotómico binario $\Phi_{pq}(x)$ pertenecen al conjunto $\{ 0, \pm 1\}$. Esta particularidad lleva a decir entonces que los polinomios ciclotómicos binarios son planos (flat en la terminología inglesa).

La primera demostración de este hecho, en cierto modo asombroso, fue proporcionada en 1883 por un matemático de apellido Migotti ([3], aunque no hemos accedido a la referencia). Posteriormente, otras demostraciones fueron proporcionadas por Lenstra ([2]), Lam y Leung ([1]), entre otros. Los argumentos utilizados para probar la planitud de $\Phi_{pq}(x)$ se basan sobre identidades polinomiales que involucran a los polinomios ciclotómicos, como por ejemplo las identidades equivalentes (vía la fórmula de inversión de Moebius): \begin{equation*} x^{n}-1 =\prod_{d \mid n} \Phi_{d}(x), \qquad \Phi_{n}(x) = \prod_{d \mid n}(x^{d}-1)^{\mu(n/d)}, \end{equation*} siendo $\mu$ la función de Moebius.

En esta comunicación presentaremos una nueva demostración de la planitud de los polinomios ciclotómicos binarios $\Phi_{pq}(x)$, apelando al álgebra lineal implícita en la factorización de polinomios; en particular, en la identidad \begin{equation*} \Phi_{pn}(x)= \dfrac{\Phi_{n}(x^{p})}{\Phi_{n}(x)} \quad \mbox{si $p$ no divide a $n$.} \end{equation*} Esta identidad puede deducirse de las anteriores o puede demostrarse de manera independiente. Dado que conocemos $\Phi_{q}(x)$, la factorización \[ \Phi_{q}(x)\Phi_{pq}(x) = \Phi_{q}(x^{p}) \]puede expresarse como un sistema lineal $A x = b$ (siendo $A$ y $b$ una matriz Toeplitz y un vector, respectivamente, cuyas entradas son coeficientes de $\Phi_{q}$; en particular, $1$ es el único valor que toman las entradas no nulas) cuya única solución es el vector de coeficientes de $\Phi_{pq}(x)$. Estos sistemas son casos particulares de sistemas lineales más generales y nuestra tarea consiste, entonces, en demostrar que estos últimos tienen soluciones cuyas entradas pertenecen a $\{0, \pm 1\}$.

\renewcommand{\refname}{Bibliografía}

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[1] T.Y. {Lam} and K.H. {Leung}. {On the cyclotomic polynomial $\Phi_{pq}(X)$.} {Am. Math. Mon.}, 103(7):562--564, 1999.

[2] H. W. Lenstra, Jr. Vanishing sums of roots of unity. In Proceedings, {B}icentennial {C}ongress {W}iskundig {G}enootschap ({V}rije {U}niv., {A}msterdam, 1978), {P}art {II}, volume 101 of Math. Centre Tracts, pages 249--268. Math. Centrum, Amsterdam, 1979.

[3] A. {Migotti}. {Zur Theorie der Kreisteilung.} {Wien. Ber.}, 87:8--14, 1883.

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Módulos singulares que son S-unidades

Ricardo Menares (Pontificia Universidad Católica de Chile, rmenares@mat.uc.cl)

Sea $E$ una curva elípitica definida sobre un cuerpo de números. El invariante j de $E$ es un número complejo que caracteriza la clase de $\mathbb{C}$-isomorfismo de $E$. Cuand $E$ admite multiplicaciones complejas, $j(E)$ es un entero algebraico denominado módulo singular. En esta charla explicaremos que, para cualquier conjunto finito $S$ de números primos, el conjunto de módulos singulares que son S-unidades es finito. En particular, mostraremos una propiedad de equidistribución p-ádica que es relevante en este tipo de problema. Se trata de un trabajo en colaboración con Sebastián Herrero y Juan Rivera-Letelier.

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Polinomios no negativos en una franja de $\mathbb{R}^2$

Paula Micaela Escorcielo (Universidad de Buenos Aires, pescorcielo@dm.uba.ar); Daniel Perrucci (Universidad de Buenos Aires, perrucci@dm.uba.ar)

Sean $p_1, \cdots, p_s \in \mathbb{R}[X_1, \dots, X_n]$ y $S \subseteq \mathbb{R}^n$ el conjunto definido por \[ S=\{ x \in \mathbb{R} ^n  |  p_1(x)\geq 0, \cdots, p_s(x) \geq 0 \}. \] Sea $f \in \mathbb{R}[X_1, \dots, X_n]$ tal que $f \geq 0$ en $S$. Un certificado de no negatividad de $f$ en $S$ es una expresión algebraica que pone en evidencia ese hecho. Por ejemplo, escribir a un polinomio como suma de polinomios al cuadrado es un certificado de la no negatividad del polinomio en todo $\mathbb{R}^n$.

\sloppypar Uno de los resultados más importantes en torno a este problema es el Schmüdgen \mbox{Positivstellensatz} que asegura que si $S$ es compacto, entonces todo polinomio positivo en $S$ pertenece a $T$, el preordering generado por $p_1,\dots,p_s$. Por otro lado, en cuanto al estudio de los polinomios no negativos en $S$, se sabe que si $S$ tiene dimensión mayor o igual a $3$ o contiene un cono afín de dimensión $2$, existen polinomios no negativos en $S$ que no pertenecen a $T$. Luego de conocerse estos resultados, el foco pasó a estar puesto en los conjuntos semialgebraicos de dimensión $2$ que no contienen conos afines, en particular, el caso de una franja en $\mathbb{R}^2$ fue el más estudiado.

En el año $2010$, M. Marshall dió una respuesta a este problema, probando que todo polinomio $f \in \mathbb{R} [X,Y]$, no negativo en el conjunto $[0,1] \times \mathbb{R}$ (definido por la desigualdad $X(1-X) \ge 0$) pertenece al preordering generado por $X(1-X)$. Es decir, para un tal $f$, existe una reescritura de la forma \[ f= \sum_{i=1}^k g_i^2 + \sum_{j=1}^l h_j^2 X (1-X)  \  \  (1)\] con $g_i$, $h_j \in \mathbb{R}[X,Y]$. La demostración desarrollada por Marshall no es constructiva y tampoco da información sobre cotas de grado para los polinomios que intervienen en la reescritura (1).

En esta charla daremos, bajo ciertas hipótesis adicionales, una demostración constructiva que permite obtener cotas de grado.

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Realizable lists via the spectra of Block matrices

Hans Nina (Universidad de Antofagasta, hans.nina@uantof.cl); Luis Medina (Universidad de Antofagasta, luis.medina@uantof.cl)

In this talk, we present spectral results for matrices partitioned into higher order blocks, where not all blocks are necessarily square. Using these results sufficient conditions on a given list to be the list of eigenvalues of a nonnegative matrix are obtained and the corresponding matrix is constructed. In particular, spectral results for symmetric matrices are derived.

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Representaciones de grupos reductivos sobre anillos locales de largo dos.

Andrea Vera (Universidad de Valparaíso, andrea.vera@uv.cl); Alexander Stasinski (Durham University, alexander.stasinski@durham.ac.uk)

Sea $\mathcal{O}$ un anillo de valuación discreto con ideal maximal $\mathfrak{p}$ y cuerpo residual $\mathbb{F}_{q}$ con $q$ elementos y característica $p$. Para un entero $r\geq 1$, escribimos $\mathcal{O}_{r}=\mathcal{O}/\mathfrak{p}^{r}$. Sea $\mathcal{O}'$ un segundo anillo de valuación discreto con el mismo cuerpo residual $\mathbb{F}_{q}$ y definamos $\mathcal{O}_{r}'$ análogamente. Para un cuerpo finito $G$ y un entero $d\geq 1$ sea $Irr_{d}(G)$ el conjunto de clases de isomorfía de representaciones irreducibles complejas de $G$ de dimensión $d$. En [1], se conjeturó que para enteros $r,n,d\geq 1$ se tiene $\# Irr_{d}(GL_{n}(\mathcal{O}_{r}))= \# Irr_{d}(GL_{n}(\mathcal{O}_{r}')))$. Esto fue demostrado para $r=2$ por P. Singla ([2]). Posteriormente, en [3], la autora probó la conjetura para los grupos clásicos y $r=2$. En este trabajo ([4]) generalizamos los resultados de P. Singla para cualquier esquema de grupo reductivo para el cual $p$ es un "very good prime".

Bibliografía

[1] Onn, Uri, Representations of automorphism groups of finite $\mathcal{O}-$ modules of rank two., Adv. in Math 219, (2008), no.6, 2058-2085.

[2] Singla, Pooja On representations of general linear groups over principal ideal local rings of length two., J. of Algebra 324, (2010), no. 9, 2543-2563.

[3] Singla, Pooja On representations of classical groups over principal ideal local rings of length two., Comm. Algebra 40, (2012), no. 11, 4060-4067.

[4] Stasinski, Alexander and Vera-Gajardo, Andrea \textit {Representations of reductive groups over finite local rings of lenght two.}, J. of Algebra 525, (2019), 171-190.

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Representaciones de Weil y Métodos de Construcción

Luis Gutiérrez Frez (Universidad Austral de Chile, luisgutierrezfrez@gmail.com); James Cruickshank (National University of Ireland, james.cruickshank@nuigalway.ie); Fernando Szechtman (University of Regina, fernando.szechtman@gmail.com)

En 1964 A. Weil introdujo una cierta clase de representaciones de los grupos simplécticos $\rm{Sp}_{2n}(V)$ sobre cuerpos localmente compactos, conocidas hoy como representaciones de Weil. Más tarde, aplicando las ideas de Weil, representations de $\rm{Sp}_{2n}(V)$ sobre cuerpos finitos fueron construidas. Además, Gérardin construyó, por restricción, representaciones de Weil de grupos unitarios $\rm{U}(h)$ sobre cuerpos finitos por inmersion de estos en grupos simplécticos. Por otro lado, en el caso finito, Soto-Andrade construyó representaciones de Weil de $\rm{Sp}(2n,\mathbb{F}_q)$, demostrando primeramente la existencia de una adecuada presentación del grupo y luego asociándoles apropiados operadores lineales que respetaban tal presentación. En estas últimas décadas se ha generalizado este tipo de representaciones a grupos unitarios $\rm{U}(2m,B)$ asociados a formas $\varepsilon$-hermitianas sobre $B$-módulos $V$, donde $B$ es un anillo involutivo no necesariamente cuerpo, tanto del punto de vista de las ideas de Weil como así también vía existencia de adecuadas presentaciones de estos grupos.
En esta charla planeamos presentar una breve introducción de estos métodos y mostrar resultados recientes en torno al contexto de generalización de estos, la descripción explícita de sus operadores, como así también resultados de compatibilidad entre ellos. Por último, mostramos algunas identidades de sumas de Gauss generalizadas deducidas de las fórmulas explícitas de los operadores de Weil, obtenidas directamente del trabajo sobre representaciones de Weil de de $\rm{U}(2m,B)$.

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Representaciones Fieles del Álgebra de Lie 2-pasos Nilpotente libre de rango r

Leandro Cagliero (FaMAF-UNC, cagliero@famaf.unc.edu.ar); Nadina Rojas (FCEFyN-UNC, nadina.rojas@unc.edu.ar)

Sea $\mathfrak{n}$ un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ de característica cero. Sean \[ \mu(\mathfrak{n}) = \min \{\dim V : (\pi , V) \text{ es una representación fiel de } \mathfrak{n} \} \text{ y }\] \[ \mu_{nil} (\mathfrak{n}) = \min \{\dim V : (\pi , V) \text{ es una nilrepresentación fiel de } \mathfrak{n} \}\] Denotamos por $\mathfrak{z}(\mathfrak{n})$ el centro de $\mathfrak{n}$, si $\mathfrak{z}(\mathfrak{n}) \subseteq [\mathfrak{n}, \mathfrak{n}]$ obtenemos que $\mu(\mathfrak{n})= \mu_{nil} (\mathfrak{n})$ (ver [CR]). En general no es fácil determinar el valor de este invariante, aún para una dada álgebra de Lie. Más aún, para muy pocas familias de álgebras de Lie se conoce el valor de $\mu$ (ver por ejemplo [BM1], [CR], [Ro1], [Ro2], [S]).

Sea $r \in \mathbb{N}$, el álgebra de Lie libre $2$-pasos nilpotente de rango $r$ es el espacio vectorial $ \mathcal{L}_r= \mathbb{K}^r\oplus \bigwedge^2 \mathbb{K}^r$ de dimensión $r + \frac{r(r-1)}{2}$, equipada con la estructura de álgebra de Lie $[X,Y]= X\wedge Y$ para todo $X,Y \in\mathbb{K}^r$. Es fácil ver que $\mathfrak{z}(\mathcal{L}_r)= [\mathcal{L}_r, \mathcal{L}_r]$, por lo tanto $\mu(\mathcal{L}_r)= \mu_{nil}(\mathcal{L}_r)$. Por otra parte, se puede ver que $\mathcal{L}_r$ es el nil-radical de una subálgebra parabólica del álgebra de Lie semisimple de rango $r$ de tipo $B$. La representación fiel de $\mathcal{L}_r$ que se obtiene al ser representada de esta manera tiene dimensión $2r + 1$. Esto muestra que $\mu(\mathcal{L}_r) \leq 2r +1$. En este trabajo probamos el siguiente teorema:

Teorema. Sean $r \in \mathbb{N}$ y $\mathcal{L}_r$ el álgebra de Lie libre $2$-pasos nlpotente de rango $r$. Entonces

  1. $\mu(\mathcal{L}_r)= \left\lceil \sqrt{\frac{r(r-1)}{2}} \right\rceil + 2$ para todo $r \geq 5$ y
  2. $\mu(\mathcal{L}_r)= 2r -1$ para $r= 2,3 4$.

Bibliografía

[BM1] D. Burde, W. Moens, Minimal Faithful Representations of Reductive Lie Algebras, Archiv der Mathematik.,Vol. 89, No. 6, (2007), 513--523.

[CR] L. Cagliero, N. Rojas, Faithful representation of minimal dimension of current Heisenberg Lie algebras, Int. J. Math. Vol. 20 (11), (2009), 1347--1362.

[Ro1] N. Rojas, Minimal Faithful Representation of the Heisenberg Lie algebra with abelian factor, J. of Lie Theory, Vol. 23(4) (2013), 1105--1114.

[Ro2] N. Rojas, Faithful Representations of Minimal Dimension of 6-dimensional nilpotent Lie algebras, J. Algebra Appl., Vol. 15(10) (2016), 1650191(1)-171650191(19).

[S] I. Schur, Zur Theorie vertauschbarer Matrizen, J. Reine Angew. Mathematik , 130 (1905), 66--76.

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Representaciones uniseriales del álgebra $N_k(V, x)$

Fernando Levstein (FaMAF UNC, levstein@famaf.unc.edu.ar); Leandro Cagliero (FaMAF UNC, cagliero@famaf.unc.edu.ar); Fernando Szechtman (University of Regina, fernando.szechtman@gmail.com)

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensi{ó}n $n$ sobre el cuerpo $F$, consideramos el {á}lgebra de Lie nilpotente de $k$ pasos libre generada por $V$ denotada por $N_k(V)$. Sea $x:V\to V$ una transformación lineal inversible que se descompone como $\lambda I+J$ con $J$ nilpotente principal de $\frak{gl}(V)$. Por ser $N_k(V)$ libre podemos extender $x$ a un homomorfismo de $N_k(V)$, esto permite definir una estructura de álgebra de Lie en $N_k(V, x):=Fx\oplus N_k(V)$. Una representación de dimensión finita es uniserial si cada submódulo tiene un único submódulo maximal. Presentaremos una clasificación completa de las representaciones uniseriales de $N_k(V,x)$.

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Sobre el índice de nilpotencia del radical de la categoría de módulos

Pamela Suarez (Universidad Nacional de Mar del Plata , pamelaysuarez@gmail.com); Claudia Chaio (Universidad Nacional de Mar del Plata , claudia.chaio@gmail.com); Victoria Guazzelli (Universidad Nacional de Mar del Plata , victoria.guazzelli@gmail.com)

Trabajo en progreso.

Sea $A$ un álgebra básica y conexa de tipo de representación finito sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $k$. Es conocido en este contexto que $A\cong kQ/I$, con $Q$ un carcaj conexo. Consideremos $\mbox{mod}\,A$ la categoría de módulos finitamente generados a derecha.

El radical $R(X,Y)$, con $X,Y \in \mbox{mod}\,A$ módulos indescomponibles, es el conjunto generado por los no-isomorfismos de $X$ en $Y$. Naturalmente se definen las potencias del radical.

Es sabido por un resultado de M. Auslander que un álgebra es de tipo de representación finito si y sólo si el radical de su categoría de módulos es nilpotente. En [1], se probó que el índice de nilpotencia del radical está dado por la longitud máxima de los caminos del proyectivo en el vértice $a$ al inyectivo en el mismo vértice pasando por el simple $S_a$.

En este trabajo, estudiamos cuales son los vértices que son suficientes analizar para determinar dicho índice. Más aún, teniendo en cuenta estos resultados, calculamos el índice de nilpotencia de la catergoría de módulos para ciertas álgebras.

Referencias

[1] C. Chaio. On the Harada and Sai Bound. Bulletin of the London MathematicalSociety 44, 6, (2012), 1237-1245.

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Topological Frobenius reciprocity and invarian Hermitian forms

Tim Bratten (UNICEN, bratten@exa.unicen.edu.ar); Mauro Natale (UNICEN, mauro_natale@hotmail.com)

Motivated by a question about Frobenius reciprocity, raised by D. Vogan in [3, Question 10.2], we prove a topological Frobenius reciprocity and use it to study invariant Hermitian forms on representations. In particular, let $G_{0}$ be a real reductive group of Harish-Chandra class with complexified Lie algebra $\mathfrak{g}$. Suppose $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{g} $ is a nice parabolic subalgebra [3]. Then the normalizer, $L_{0}$, of $\mathfrak{p}$ in $G_0$ is a Levi subgroup. Let $S$ be the orbit of $\mathfrak{p}$ in the corresponding generalized flag manifold and let $q$ be the vanishing number for $S$. Suppose $V_\text{{min}}$ is a minimal globalization for $L_{0}$ with regular, antidominant infinitesimal character and let $\mathfrak{u}$ be the nilradical of $\mathfrak{p}$. Topological Frobenius reciprocity is the natural correspondence \[ \text{Hom}_{G_0} \left( H^q _{\text{c}} ( S , \mathcal{O} ( \mathfrak{p} , V_{\text{min}} ) ) , M_{\text{max}} \right) \cong \text{Hom}_{L_0} \left( V_{\text{min}} , H_{q} ( \mathfrak{u} , M_{\text{max}} ) \right) \] where $H^q _{\text{c}} \left( S , \mathcal{O} ( \mathfrak{p} , V_{\text{min}} ) \right) $ is the representation for $G_0$ on the compactly supported cohomology of the analytic sheaf $\mathcal{O} ( \mathfrak{p} , V_{\text{min}} )$, $ M_{\text{max}}$ is a quasisimple maximal globalization for $G_0$ and $H_{q} ( \mathfrak{u} , M_{\text{max}} )$ is the representation for $L_0 $ on the Lie algebra homology group. The reciprocity result follows from the geometric description of $H^q _{\text{c}} \left( S , \mathcal{O} ( \mathfrak{p} , V_{\text{min}} ) \right)$ and properties of the minimal and maximal globalization with respect to Lie algebra homology [1], [2]. We apply the topological Frobenius reciprocity to study the invariant Hermitian forms on $H^q _{\text{c}} \left( S , \mathcal{O} ( \mathfrak{p} , V_{\text{min}} ) \right) $. Put $I_{\text{min}} = H^q _{\text{c}} \left( S , \mathcal{O} ( \mathfrak{p} , V_{\text{min}} ) \right) $, let $ \chi_{\mathfrak{u}}$ be the determinant character for the $L_0$-action on $\mathfrak{u}$ and let $ Z (\mathfrak{l} ) $ be the center of the enveloping algebra of the complexified Lie algebra, $\mathfrak{l}$, of $L_{0} $. It turns out one would like to know that $ V_{\text{min}}$ is isomorphic to the corresponding $Z (\mathfrak{l} )$-eigenspace in the representation $H_s( \mathfrak{u}^{\text{op}} , I_{\text{min}} ) \otimes \chi_{\mathfrak{u}} $, where $s = \text{dim}_{\mathbb{C}} (S)$ and $ \mathfrak{u}^{\text{op}} $ is the nilradical of the parabolic subalgebra, $\mathfrak{p}^{\text{op}} $, opposite to $\mathfrak{p}$. To establish this last result we generalize a geometric duality theorem established by M. Zabcic for discrete series in his Ph.D thesis [4]. In this way we obtain a natural correspondence between invariant Hermitian forms on $H^q _{\text{c}} \left( S , \mathcal{O} ( \mathfrak{p} , V_{\text{min}} ) \right)$ and invariant Hermitian forms on $V_{\text{min}}$.



[1] T. Bratten: A comparison theorem for Lie algebra homology groups. Pac. J. of Math., 182 (1), (1998), 23-36.

[2] T. Bratten: A simple proof of the algebraic version of a conjecture by Vogan. J. Lie Theory, 18 (1), (2008), 83-93.

[3] D. Vogan: Unitary representations and complex analysis. In Representation Theory and Complex Analysis, Lecture Notes in Mathematics, 1931. Springer, Berlin, Heidelberg (2008), 259-344.

[4] M. Zabcic: Geometry of discrete series. Ph.D. Thesis, University of Utah, 1988.

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Una relación entre polinomios de valor mínimo y torres de cuerpos de funciones sobre cuerpos finitos

Ricardo Toledano (Universidad Nacional del Litoral, ridatole@gmail.com)

Sea $S\subset \mathbb{F}_q$ un conjunto no vacío y sea $f$ un polinomio sobre $\mathbb{F}_q$ de grado $m$. Decimos que $f$ es un $S$-polinomio si \[ \{\alpha\in \overline{\mathbb{F}}_q\,:\,f(\alpha)=\beta^m\}\subset S,\] para todo $\beta \in S$. Definimos el conjunto \[ V^S_f=\{f(a)\,:\,a\in S\},\] y decimos que $f$ es un polinomio de $S$-valor mínimo si se cumple que \[ |V^S_f|=\left\lceil \frac{|S|}{m}\right\rceil.\] En este trabajo veremos que todo polinomio sobre $\mathbb{F}_q$ de grado $m$ que sea un $S$-polinomio es también un polinomio de $S$-valor mínimo siempre que $q\equiv 1\mod m$ y que $0\in S$. En particular este resultado implica que si se tiene una torre recursiva de cuerpos de funciones con ramificación moderada definida por una ecuación de la forma \[ y^m=x^dh(x),\] donde $q\equiv 1\mod m$, $h(0)\neq 0$ y $\text{mcd}(m,d)=1$ y se cumplen las condiciones impuestas por Garcia, Stichtenoth y Thomas en su trabajo sobre torres asintóticamente buenas, entonces el polinomio $f=x^dh(x)$ es un polinomio de $S$-valor mínimo para un cierto $S\subset \mathbb{F}_q$ tal que $V^S_f=V^S_{x^m}$. Este resultado permite hallar una gran variedad de nuevos ejemplos de torres asintóticamente buenas sobre $\mathbb{F}_q$ con ramificación moderada.

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Una versión del Putinar Positivstellensatz para cilindros

Daniel Perrucci (UBA - IMAS, perrucci@dm.uba.ar); Paula Micaela Escorcielo (UBA - IMAS, pescorcielo@dm.uba.ar)

El Putinar Positivstellensatz es un teorema muy importante en la teoría de sumas de cuadrados y certificados de no negatividad. Este resultado asegura que dados $g_1, \dots, g_s \in {\mathbb R}[X_1, \dots, X_n]$ tales que el módulo cuadrático \[ M(g_1, \dots, g_s) = \left \{ \sigma_0 + \sigma_1g_1 + \dots + \sigma_sg_s  |  \sigma_0, \sigma_1, \dots, \sigma_s \in { \textstyle{ \sum } } \, {\mathbb R}[X_1, \dots, X_n]^2 \right \} \] es arquimediano, todo $f \in {\mathbb R}[X_1, \dots, X_n]$ positivo en \[ S = \{x \in {\mathbb R}^n \, | \, g_1(x) \ge 0, \dots, g_s(x) \ge 0\} \] pertenece a $M(g_1, \dots, g_s)$. Luego, la escritura explícita de $f$ como un elemento de $M(g_1, \dots, g_s)$ brinda un certificado de no negatividad de $f$ en $S$. Cabe señalar que la condición de que $M(g_1, \dots, g_s)$ sea arquimediano implica que el conjunto $S$ es compacto.

En esta charla presentaremos una extensión del Putinar Positivstellensatz, bajo ciertas hipótesis adicionales, al caso particular (no compacto) de cilindros de tipo $S \times {\mathbb R}$. Mostraremos a su vez que, sin suponer ninguna hipótesis adicional, el teorema no es válido en este tipo de cilindros.

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UMA SOMACHI
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