UMA 2022
En $\mathbb{R}^d$, con $d\geq 3$, sea el operador de Schrödinger $L_V \doteq -\Delta + V$, donde $V:\mathbb{R}^d \rightarrow [0,\infty)$ satisface una condición de Reverse Hölder RH$_{d/2}$. Se define, para $0 < \alpha\leq 2$, el potencial de Riesz asociado como $I^\alpha_V \doteq L_V^{-\alpha/2}$. En este trabajo, estudiamos dicho operador a través de la expresión integral que el cálculo funcional y la teoría de semigrupos arrojan como \[ I^\alpha_V f(x) = \int_{\mathbb{R}^d} K_{V,\alpha}(x,y)\,f(y)\,dy\,,\] para $f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d)$ y $x \in \mathbb{R}^d$, donde $K_{V,\alpha}$ es el núcleo del operador, del cual son conocidas algunas estimaciones.
Probamos estimaciones con dos pesos para $I^\alpha_V$ extendiendo los resultados vistos en $[1]$. Más precisamente, para $1 < p \leq q < \infty$, definimos una clase de pares de pesos $(u,v)$ para las cuales se cumple la acotación $L^p(v)-L^q(u)$ del operador. Esta clase se define considerando promedios Orliczs de los pesos, extendiendo en cierto sentido la clase definida en $[1]$. En la prueba se toman ideas vistas en $[2]$ sobre operadores de tipo Sparse.
Trabajo en conjunto con: Oscar Salinas (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL), Marisa Toschi (IMAL (UNL-CONICET); FHUC (UNL) y Beatriz Viviani (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL).
Referencias
[1] Julian Bailey. Weights of exponential growth and decay for Schrödinger-type operators. J. Funct. Anal., 281(1):Paper No. 108996, 93, 2021.
[2] David Cruz-Uribe. Two weight inequalities for fractional integral operators and commutators. Advanced courses of mathematical analysis VI, pages 25-85. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2017.